Задача о выборе оборудования. На приобретение оборудования для нового участка цеха выделено 20000 долларов США. При этом можно занять площадь не более 38 м 2. Имеется возможность приобрести станки типа А и станки типа Б. При этом станки типа А стоят 5000 долларов США, занимают площадь 8 м 2 (включая необходимые технологические проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц продукции за смену. Станки типа Б стоят 2000 долларов США, занимают площадь 4 м 2 и имеют производительность 3 тыс. единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей производительности участка.
Пусть Х – количество станков типа А, а У – количество станков типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность С участка (в тыс. единиц за смену):
С = 7 Х + 3 У → max.
При этом должны быть выполнены следующие ограничения:
по стоимости (в тыс. долларов США)
5 Х + 2 У ≤ 20,
по занимаемой площади (в м 2)
8 Х + 4 У ≤ 38,
а также вновь появляющиеся специфические ограничения по целочисленности, а именно,
Х ≥ 0, У ≥ 0, Х и У – целые числа.
Сформулированная математическая задача отличается от задачи линейного программирования только последним условием целочисленности. Однако наличие этого условия позволяет (в данном конкретном случае) легко решить задачу перебором. Действительно, как ограничение по стоимости, так и ограничение по площади дают, что Х ≤ 4. Значит, Х может принимать лишь одно из 5 значений: 0, 1, 2, 3, 4.
Если Х = 4, то из ограничения по стоимости следует, что У = 0, а потому С = 7 Х = 28.
Если Х = 3, то из первого ограничения вытекает, что У ≤ 2, из второго У ≤ 3. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У =2, а именно С = 21 + 6 = 27.
Если Х = 2, то из первого ограничения следует, что У ≤ 5, из второго также У ≤ 5. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У =5, а именно С = 14 + 15 = 29.
Если Х = 1, то из первого ограничения имеем У ≤ 7, из второго также У ≤ 7. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У = 7, а именно С = 7 + 21 = 28.
Если Х = 0, то из первого ограничения вытекает У ≤ 10, из второго У ≤ 9. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У = 9, а именно, С = 27.
Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная производительность С = 29 (тысяч единиц продукции за смену) достигается при Х = 2, У = 5. Следовательно, надо покупать 2 станка типа А и 5 станков типа Б.
Задача о ранце . Общий вес ранца заранее ограничен. Какие предметы положить в ранец, чтобы общая полезность отобранных предметов была максимальна? Вес каждого предмета известен.
Есть много эквивалентных формулировок. Например, можно вместо ранца рассматривать космический аппарат – спутник Земли, а в качестве предметов – научные приборы. Тогда задача интерпретируется как отбор приборов для запуска на орбиту. Правда, при этом предполагается решенной предварительная задача – оценка сравнительной ценности исследований, для которых нужны те или иные приборы.
С точки зрения экономики предприятия и организации производства более актуальна другая интерпретация задачи о ранце, в которой в качестве «предметов» рассматриваются заказы (или варианты выпуска партий тех или иных товаров), в качестве полезности – прибыль от выполнения того или иного заказа, а в качестве веса – себестоимость заказа.
Перейдем к математической постановке. Предполагается, что имеется n предметов, и для каждого из них необходимо решить, класть его в ранец или не класть. Для описания решения вводятся булевы переменные Х k , k = 1,2,…, n (т. е. переменные, принимающие два значения, а именно, 0 и 1). При этом Х k = 1, если предмет размещают в ранце, и Х k = 0, если нет, k = 1,2,…, n . Для каждого предмета известны две константы: А k – вес k – го предмета, и С k – полезность k – го предмета, k = 1,2,…, n . Максимально возможную вместимость ранца обозначим В . Оптимизационная задача имеет вид
C 1 Х 1 + С 2 Х 2 + С 3 Х 3 + …. + С n Х n → max,
А 1 Х 1 + А 2 Х 2 + А 3 Х 3 + …. + А n Х n ≤ В .
В отличие от предыдущих задач, управляющие параметры Х k , k = 1,2,…, n , принимают значения из множества, содержащего два элемента – 0 и 1.
К целочисленному программированию относятся задачи размещения (производственных объектов), теории расписаний, календарного и оперативного планирования, назначения персонала и т. д.
Укажем два распространенных метода решения задач целочисленного программирования
Метод приближения непрерывными задачами. В соответствии с ним сначала решается задача линейного программирования без учета целочисленности, а затем в окрестности оптимального решения ищутся целочисленные точки.
Методы направленного перебора . Из них наиболее известен метод ветвей и границ. Суть метода такова. Каждому подмножеству Х множества возможных решений Х 0 ставится в соответствие число – «граница» А (Х ). При решении задачи минимизации необходимо, чтобы А (Х 1) ≥ А (Х 2 ), если Х 1 входит в Х 2 или совпадает с Х 2 .
Каждый шаг метода ветвей и границ состоит в делении выбранного на предыдущем шаге множества Х С на два – Х 1С и Х 2С . При этом пересечение Х 1С и Х 2С пусто, а их объединение совпадает с Х С . Затем вычисляют границы А (Х 1С ) и А ( Х 2С ) и выделяют «ветвь» Х С +1 – то из множеств Х 1С и Х 2С, для которого граница меньше. Алгоритм прекращает работу, когда диаметр вновь выделенной ветви оказывается меньше заранее заданного малого числа
Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации) метод ветвей и границ реализуется по—своему. Есть много модификаций этого метода. Однако менеджеру нет необходимости вникать в подробности, относящиеся к вычислительной математике. Вместе с тем он должен знать о возможностях, предоставляемых ему теорией оптимизации.
3.2.3. Теория графов и оптимизация
Один из разделов дискретной математики, часто используемый при принятии решений – теория графов. Граф – совокупность точек, называемых вершинами графа, некоторые из которых соединены дугами (дуги называют также ребрами). На только что введенное понятие графа «навешиваются» новые свойства. Исходному объекту приписывают новые качества. Например, вводится и используется понятие ориентированного графа. В таком графе дуги имеют стрелки, направленные от одной вершины к другой.
Ориентированный граф был бы полезен, например, для иллюстрации организации перевозок в транспортной задаче. В экономике дугам ориентированного или обычного графа часто приписывают числа, например, стоимость проезда или перевозки груза из пункта А (начальная вершина дуги) в пункт Б (конечная вершина дуги).
Рассмотрим несколько типичных задач принятия решений, связанных с оптимизацией на графах.
Задача коммивояжера . Требуется посетить все вершины графа и вернуться в исходную вершину, минимизировав затраты на проезд (или минимизировав время).
Исходные данные здесь – это граф, дугам которого приписаны положительные числа – затраты на проезд или время, необходимое для продвижения из одной вершины в другую. В общем случае граф является ориентированным, и каждые две вершины соединяют две дуги – туда и обратно. Действительно, если пункт А расположен на горе, а пункт Б – в низине, то время на проезд из А в Б, очевидно, меньше времени на обратный проезд из Б в А.
