Следовательно, область допустимых значений параметров ( К, С ) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых, а также включает граничные отрезки). Область допустимых значений параметров, т. е. точек ( К, С ), можно назвать «неограниченным многоугольником». Минимум целевой функции 3,8 К + 4,2 С может достигаться только в вершинах этого «многоугольника». Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10,0) и ординат (0,20) прямых (1) и (4) (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина – это точка А пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений
0,10 К + 0,25 С = 1,00,
1,00 К + 0,25 С = 5,00.
Из второго уравнения К = 5–0,25 С , из первого 0,10 (5–0,25 С ) + 0,25 С = 0,5–0,025 С + 0,25 С = 0,5 + 0,225 С = 1, откуда С = 0,5/0,225 = 20/9 и К = 5–5/9 = 40/9. Итак, А = (40/9; 20/9).
Прямая (3) – это прямая, соответствующая целевой функции 3,8 К + 4,2 С . Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А , через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8х40/9 + 4,2х20/9 = 236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена.
Двойственная задача, построенная по описанным выше правилам, имеет приведенный ниже вид (мы повторяем здесь и исходную задачу об оптимизации смеси, чтобы наглядно продемонстрировать технологию построения двойственной задачи):
3,8 К + 4,2 С → min, W 1 + 5 W 2 + 400 W 3 → max,
0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00, 0,1 W 1 + 1,10 W 2 + 110 W 3 ≤ 3,8,
1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00, 0,25 W 1 + 0,25 W 2 + 120 W 3 ≤ 4,2,
110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00, W 1 ≥ 0,
К ≥ 0, W 2 ≥ 0,
С ≥ 0. W 3 ≥ 0.
Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т. е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных: W 1 – «стоимость» единицы вещества Т, а W 2 – «стоимость» единицы вещества Н, измеренные «по их вкладу» в целевую функцию. При этом W 3 = 0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения. Итак, W 1 , W 2, W 3 – это т. н. объективно обусловленные оценки (по Л.В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий).
Планирование номенклатуры и объемов выпуска. Вернемся к организации производства. Предприятие может выпускать автоматические кухни (вид кастрюль), кофеварки и самовары. В табл.2 приведены данные о производственных мощностях, имеющихся на предприятии (в штуках изделий).
При этом штамповка и отделка проводятся на одном и том же оборудовании. Оно позволяет штамповать за заданное время или 20000 кухонь, либо 30000 кофеварок, либо и то, и другое, не в меньшем количестве. А вот сборка проводится на отдельных участках.
Задача линейного программирования имеет вид:
Х 1 ≥ 0, Х 2 ≥ 0, Х 3 ≥ 0, (0)
Х 1 / 200 + Х 2 / 300 + Х 3 / 120 ≤ 100, (1)
Х 1 / 300 + Х 2 / 100 + Х 3 / 100 ≤ 100, (2)
Х 1 / 200 ≤ 100, (3)
Х 2 / 120 ≤ 100, (4)
Х 3 / 80 ≤ 100, (5)
F = 15 Х 1 + 12 Х 2 + 14 Х 3 → max.
Здесь:
(0) – обычное в экономике условие неотрицательности переменных,
(1) – ограничение по возможностям штамповки (выраженное для облегчения восприятия в процентах),
(2) – ограничение по возможностям отделки,
(3) – ограничение по сборке для кухонь,
(4) – то же для кофемолок,
(5) – то же для самоваров (как уже говорилось, все три вида изделий собираются на отдельных линиях).
Наконец, целевая функция F – общая прибыль предприятия.
Заметим, что неравенство (3) вытекает из неравенства (1), а неравенство (4) – из (2). Поэтому неравенства (3) и (4) можно из формулировки задачи линейного программирования исключить.
Отметим сразу любопытный факт. Как будет установлено, в оптимальном плане Х 3 = 0, т. е. самовары выпускать невыгодно.
Методы решения задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике и менеджменту. Однако инженеру, менеджеру и экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.
С ростом мощности компьютеров необходимость применения изощренных математических методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором, оно весьма мало (доли секунд). Поэтому разберем лишь три метода.
Простой перебор . Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа 2 Х 1 + 5 Х 2 ≤ 10, то, очевидно, 0 ≤ Х 1 ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ Х 2 ≤ 10/5 = 2. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как было в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его «обращенную» к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед (подробнее см. Шевчук Д.А. Управление качеством. – М.: ГроссМедиа: РОСБУХ, 2008).
Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1/10 n последовательно при n =2,3,…, вычисляя значения целевой функции и проверяя выполнение ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1/10 n .)
Направленный перебор. Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно – с помощью т. н. метода случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения—неравенства переходят в равенства)… Остановка – в вершине линейного многогранника. Решение найдено (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆. Если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆/2, ∆/4 и т. д.).
Симплекс—метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Симплекс—метод был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Основная его идея состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Разберем пример на основе данных табл.2.
Рассмотрим задачу линейного программирования, сформулированную выше при рассмотрении оптимизации номенклатуры и объемов выпуска:
F = 15 Х 1 + 12 Х 2 + 14 Х 3 → max.
Х 1 / 200 + Х 2 / 300 + Х 3 / 120 ≤ 100,
Х 1 / 300 + Х 2 / 100 + Х 3 / 100 ≤ 100,
Х 3 / 80 ≤ 100.
Неотрицательность переменных не будем специально указывать, поскольку в задачах линейного программирования это предположение всегда принимается.
В соответствии с симплекс—методом введем т. н. «свободные переменные» Х 4, Х 5, Х 6, соответствующие недоиспользованным мощностям, т. е. от системы неравенств перейдем к системе уравнений:
Х 1 / 200 + Х 2 / 300 + Х 3 / 120 + Х 4 = 100,
Х 1 / 300 + Х 2 / 100 + Х 3 / 100 + Х 5 = 100,
Х 3 / 80 + Х 6 = 100,
15 Х 1 + 12 Х 2 + 14 Х 3 = F .
У этой системы имеется очевидное решение, соответствующее одной из вершин многогранника допустимых значений переменных:
Х 1 = Х 2 = Х 3 = 0, Х 4 = Х 5 = Х 6 = 100, F = 0.
В терминах исходной задачи это означает, что ничего не надо выпускать. Такое решение приемлемо только на период летних отпусков.
