В. Г. Карманов.
Линейное пространство
Лине'йное простра'нство, тоже, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространство и пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число , обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами и (неравенство треугольника). Число называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.
В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени Pk-i(t), чтобы
имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой
=
эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой
,
и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы и существенно различны, так как, например, последовательность функций
по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции
.
Следует отметить, что хотя все функции xn(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы . При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {xn} его элементов, удовлетворяющих условию
,
существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.
,
Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой , получают гильбертово пространство L2p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.
Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.
Линейное судоходство
Лине'йное судохо'дство, см. Морские линии.
Линейное уравнение
Лине'йное уравне'ние, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).
Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:
ax = b;
решением его при а ¹ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:
(1)
где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:
,
;
здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.
Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:
(2)
здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами. Если определитель D = ½aij½ системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное xk равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Если все bi = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ¹ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xk = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:
(3)
Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:
x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,
где Dn — умноженный на ( — 1)k определитель, полученный из матрицы коэффициентов aij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей Di отличен от 0).
Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:
(4)
Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц
и
Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.
