Важнейшими конкретными примерами Л. о. в функциональных пространствах являются дифференциальные Л. о.
и интегральные Л. о.
примером Л. о. функций многих переменных может служить Лапласа оператор. Теория Л. о. находит большое применение в различных вопросах математической физики и прикладной математики. См. также Функциональный анализ, Операторов теория, Спектральный анализ (математический), Собственные значения и собственные функции, Собственные векторы.
Линейный функционал
Лине'йный функциона'л, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:
1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),
где х и у — любые элементы из Е, a и b — числа;
2) f(x) непрерывна.
Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают .
В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой Л. ф. являются, например, выражения:
,
f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b.
В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е.
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если
для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.
Линейных знаков способ
Лине'йных зна'ков спо'соб, один из картографических способов изображения. Л. з. с. изображаются линии местности (например, водоразделы, тектонические разломы, линии связи, политико-административные границы и др.), объекты линейного протяжения, не выражающиеся в масштабе карты (например, реки и дороги и др.), граничные полосы (например, береговая зона, зональные границы почв и растительности и др.).
Линейчатая геометрия
Лине'йчатая геоме'трия, раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными — коэффициентами а, b, р, q в уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции — совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых — совокупность касательных к одной какой-либо поверхности.
Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:
x1= x1 — x2, x2 = y1 — y2, x3 = z1 — z2, x4 = y1z2 — y2z1, x5 = x2z1 — x1z2, x6 = x1y2 — x2y1.
Числа x1, x2, x3 являются компонентами вектора , а x4, x5, x6 — компоненты момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что числа xi удовлетворяют соотношению
x1x4 + x2x5 + x3x6 = 0. (1)
Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел xi, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа xi (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение
(2)
определяет линейный комплекс — совокупность прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой точке («полюсу») пространства можно поставить в соответствие плоскость («полярную плоскость»), содержащую все прямые комплекса, проходящую через эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости всех точек пространства проходят через одну прямую (ось), то комплекс состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию
a1a4 + a2a5 + a3a6 = 0.
Система двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию — совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (которые могут быть и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность, являющуюся в этом случае либо однополостным гиперболоидом, либо гиперболическим параболоидом.
Линейные однородные координаты прямой были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного комплекса. В дальнейшем Л. г. разрабатывалась в работах Ф. Клейна и русского математика А. П. Котельникова. Дифференциальная геометрия конгруэнций, начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итальянских математиков Л. Бианки, Г. Санниа и французского математика А. Рибокура. На основе созданного в 1895 Котельниковым «винтового» исчисления советским математиком Д. Н. Зейлигером развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнций. Проективная теория конгруэнций построена в 1927 советским математиком С. П. Финиковым.
Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л. — М., 1934; Фиников С. П., Теория поверхностей, М. — Л., 1934; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. — Л.,1937; его же, Теория конгруэнций, М. — Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М. — Л., 1939; Zindler К., Liniengeometrie, Bd 1—2, Lpz., 1902—06.
Э. Г. Позняк.
Линейчатая поверхность
Лине'йчатая пове'рхность, совокупность прямых, зависящая от одного параметра; Л. п. можно описать движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Л. п. разделяются на развёртывающиеся и косые.
Развёртывающиеся Л. п. могут быть посредством изгибания наложены на плоскость. Любая развёртывающаяся поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо поверхностью, состоящей из касательных к некоторой пространственной кривой (1) (рис. 1). Эту кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности. Плоскость P, пересекающая ребро возврата (L), образует в сечении с поверхностью кривую ABC с точкой возврата В (см. Особые точки). Ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости S1 и S2 касаются друг друга. Развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей неизменна. Отсюда следует, что совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся Л. п. представляет собой однопараметрическое семейство. Иначе говоря, развёртывающаяся Л. п. является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.
