5.13. Работа с функциями двух переменных
5.13.1. Maplet-инструмент для работы с функциями двух переменных
Для эффектной демонстрации работы с функциями многих переменных в состав пакета Student системы Maple 9.5 введен новый подпакет MultivariateCalculus. Его примеры можно запускать как с командной строки, так и из позиции Tools меню в стандартном варианте интерфейса — Tutors→Calculus→Calculus-Multi-Variables.
Approximate Integration… — открывает Maplet-окно аппроксимации двойных интегралов;
Cross Section… — открывает Maplet-окно демонстрации сечения поверхности;
Directional Derivatives… — открывает Maplet-окно вычисления производных в заданном направлении;
Gradient… — открывает Maplet-окно вычисления градиента;
Taylor Series… — открывает Maplet-окно разложения функций в ряд Тейлора.
Представленные средства носят учебный характер — не случайно они входят в пакет Student. Реально визуализация возможна только для функций двух переменных.
5.13.2. Демонстрация разложения в ряд Тейлора функции двух переменных
Команда Taylor Series… — открывает Maplet-окно разложения функции двух переменных z(х, у) в ряд Тейлора относительно заданной точки (х0, у0). Это окно представлено на рис. 5.33.
Рис. 5.33. Maplet-окно демонстрации разложения в ряд Тейлора функции двух переменных
В данном окне дан пример разложения в ряд Тейлора функции sin(x*y) в окрестности точки (0, 0) в интервале изменения х[-2, 2], у[-2, 2] и z[-1, 1]. Установки в окне совершенно очевидны. Графики в правой части представляют поверхность, описываемую исходной функцией и поверхность, представленную рядом Тейлора. Кнопка Display начинает построение графиков, кнопка Animation позволяет наблюдать анимацию разложения, а кнопка Close закрывает окно и переносит рисунок в текущий документ системы Maple 9 5.
5.13.3. Демонстрация вычисления градиента функции двух переменных
Команда Gradient… — открывает Maplet-окно демонстрации вычисления градиента функции двух переменных z(x, у) в ряд Тейлора относительно заданной точки (х0, y0). Это окно представлено на рис. 5.34.
Рис. 5.34. Maplet-окно демонстрации вычисления градиента функции двух переменных
Работа с этим окном практически не отличается от описанной для примера с рядом Тейлора. Единственное исключение — новая кнопка Gradient Field Plot. Она позволяет строить график поля градиента с помощью стрелок. Этот случай представлен на рис. 5.35.
Рис. 5.35. Maplet-окно демонстрации вычисления градиента функции двух переменных с графиком поля градиента
5.13.4. Демонстрация вычисления производной в заданном направлении
Команда Directional Derivatives… — открывает Maplet-окно демонстрации вычисления производных функции двух переменных z(х, у) в заданном направлении, указанном точкой с координатами (х, у). Это окно представлено на рис. 5.36.
Рис. 5.36. Maplet-окно демонстрации вычисления градиента функции двух переменных
Работа с этим окном практически не отличается от описанной для предшествующих примеров.
5.13.5. Демонстрация приближенного вычисления интеграла
Команда Approximate Integration… — открывает Maplet-окно демонстрации вычисления двойных интегралов с подынтегральной функцией двух переменных z(х, у). Это окно представлено на рис. 5.37.
Рис. 5.37. Maplet-окно демонстрации приближенного вычисления двойного интеграла в прямоугольной системе координат
Для вычисления интеграла нужно задать подынтегральную функцию и пределы по переменным x и у. Для построения графика можно также задать пределы по переменной z. Приближенное значение интеграла вычисляется суммированием объёмов прямоугольных столбиков, на которые разбивается пространство под поверхностью z(x, у). Число разбиений устанавливается списком Partition. Можно задать один из четырех методов расположения столбиков. В области Value отображается точное и приближенное (сумма объемов столбиков) значения интеграла.
Возможно представление интеграла и в полярной системе координат. Пример этого дан на рис. 5.38.
Рис. 5.38. Maplet-окно демонстрации приближенного вычисления двойного интеграла в полярной системе координат
5.13.6. Маплет-демонстрация сечения поверхности
Команда Cross Section… открывает Maplet-окно демонстрации сечения поверхности плоскостями. Поверхность задается функцией двух переменных z(x, у). Окно этой команды представлено на рис. 5.39.
Рис. 5.39. Maplet-окно демонстрации сечения поверхности параллельными плоскостями
Работа с этим окном вполне очевидно. На рисунке в левой части окна строится исходная поверхность, секущие плоскости и линии их пересечения.
Глава 6
Решение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии
Задачи линейной алгебры, оптимизации и регрессии — одни из самых массовых в науке, технике и образовании [37, 39–46]. Им и посвящена эта глава. В ней даны основные определения линейной алгебры, основы работы с массивами, векторами и матрицами, функции для работы с векторами и матрицами и для решения систем линейных уравнений. Дано описание средств оптимизации, в том числе новейших системы Maple 10.
6.1. Основные операции линейной алгебры
6.1.1. Основные определения линейной алгебры
Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple в решении задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.
Матрица (m×n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размера 3×3:
Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:
где M1<j>— определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.
Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4×4:
Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы transpose(A)∙А, где transpose(A) — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже).
Транспонированная матрица — матрица, у которой столбцы и строки меняются местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию AT(i,j)=A(j,i). Приведем простой пример.
Исходная матрица:
Транспонированная матрица:
Обратная матрица — это матрица М-1, которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы Аi,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, поддиагонали и наддиагонали, равны нулю, называется ленточной.
