Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М0=Е, М1=М, М2=ММ, …, Мn=Мn-1М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р²=Р.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат=А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат=-А.
Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию Ат=А-1.
Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.
Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.
Комплексно-сопряженная матрица — матрица Ā, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.
Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию Ā=Ат.
Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х∈Vn, х≠0, удовлетворяющий уравнению Ах=γх, где γ — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А-γЕ|.
Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.
Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа.
Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина.
Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||).
Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А∙Х=В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X=А-1∙В, где А-1 — обратная матрица.
6.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма
Как известно, обычная система линейных уравнений имеет вид:
Здесь а1,1, а1,2, …, an,n — коэффициенты, образующие матрицу А и могущие иметь действительные или комплексные значения, х1, х2, …, хn — неизвестные, образующие вектор X и b1, b2, …, bn — свободные члены (действительные или комплексные), образующие вектор В. Эта система может быть представлена в матричном виде как АХ=В, где А — матрица коэффициентов уравнений, X — искомый вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Из такого представления системы линейных уравнений вытекают различные способы ее решения: X=В/А (с применением матричного деления), X=А-1В (с инвертированием матрицы А) и так далее.
6.1.3. Матричные разложения
В ходе решения задач линейной алгебры часто приходится использовать различные методы, например известный еще из школы метод исключения Гаусса. Однако для эффективного решения таких задач приходится представлять матрицы специальным образом, осуществляя матричные разложения. В ходе этого приходится работать с некоторыми специальными типами матриц, что нередко резко упрощает решения систем линейных уравнений. Отметим некоторые из наиболее распространенных матричных разложений, которые реализованы в большинстве СКА и СКМ.
LU-разложение, называемое также треугольным разложением, соответствует матричному выражению вида Р∙А=L∙U, где L — нижняя и U — верхняя треугольные матрицы. Все матрицы в этом выражении квадратные.
QR-разложение имеет вид А=Q∙R, где Q — ортогональная матрица, a R — верхняя треугольная матрица. Это разложение часто используется при решении любых систем линейных уравнений, в том числе переопределенных и недоопределенных и с прямоугольной матрицей.
Разложение Холецкого А=L∙LT применяется к симметричной матрице А, при этом L — треугольная матрица.
Сингулярное разложение матрицы А размера M×N (М×N) определяется выражением А=U∙s∙VT, где U и V — ортогональные матрицы размера N×N и М×M, соответственно, a s — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали.
6.1.4. Элементы векторов и матриц
Элементы векторов и матриц в Maple являются индексированными переменными, то есть место каждого элемента вектора определяется его индексом, а у матрицы — двумя индексами. Обычно их обобщенно обозначают как i (номер строки матрицы или порядковый номер элемента вектора) и j (номер столбца матрицы). Допустимы операции вызова нужного элемента и присваивания ему нового значения:
V[i] — вызов i-го элемента вектора V;
M[i,j] — вызов элемента матрицы М, расположенного на i-й строке в j-м столбце.
V[i]:=x — присваивание нового значения х i-му элементу вектора V;
M[i,j]:=x — присваивание нового значения х элементу матрицы М.
6.1.5. Преобразование списков в векторы и матрицы
Прежде всего, надо обратить внимание на то, что векторы и матрицы, хотя и похожи на списки, но не полностью отождествляются с ними. В этом можно убедиться с помощью следующих примеров (файл vmop), в которых функция type используется для контроля типов множественных объектов (векторов и матриц):
> М1:=[1,2,3,4];
M1 := [1, 2, 3, 4]
> type(M1,vector);
false
> V:=convert(M1,vector);
V := [1, 2, 3, 4]
> type(V,vector);
true
> М2:=[[1,2],[3,4]];
М2 := [[1,2], [3, 4]]
> type(М2,matrix);
false
> M:=convert(M2,matrix);
> type(M,matrix);
true
Таким образом, используя функцию преобразования данных convert, можно преобразовывать одномерные списки в векторы, а двумерные — в матрицы. Функция type используется в следующих формах:
type(V,vector) — тестирует аргумент V и возвращает true, если V — вектор, и false в ином случае;
type(M.matrix) — тестирует аргумент М и возвращает true, если М — матрица, и false в ином случае.
Здесь параметры vector и matrix используются для указания того, какой тип объекта проверяется. Обратите внимание на то, что матрицы отображаются иначе, чем двумерные списки — без двойных квадратных скобок. Отображение вектора подобно отображению одномерного списка, поэтому здесь особенно важен контроль типов данных.
6.1.6. Операции с векторами
Важное достоинство систем компьютерной алгебры, к которым относится и Maple, заключается в возможности выполнения аналитических (символьных) операций над векторами и матрицами. Перед проведением символьных операций с векторами и матрицами рекомендуется очистить память от предшествующих определений с помощью команды restart. Если какие-то элементы векторов или матриц были ранее определены, это может привести к очень сильным искажениям вида конечных результатов. Очистка памяти устраняет возможность ошибок такого рода.
Приведем примеры операций над векторами (файл vectop):
> V:=array(1..4,[1,2,3,4]);
V:= [1, 2, 3, 4]
> [V[1], V[2], V[4]];
[1, 2, 4]
> V[1]:=a: V[3]:=b:
> evalm(V);
[a, 2, b, 4]
> evalm(V+2);
[a + 2, 4, b + 2, 6]
> evalm(2*V);
[2 a, 4, 2 b, 8]
> evalm(V**V);
[a, 2, b, 4]V
> evalm(a*V);
[a², 2 a, a b, 4 a]
В этих примерах используется функция evalm(M), осуществляющая вычисление матрицы или вектора М.
