Два непрерывных отображения f, g : X ® Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений ft : X ® Y, непрерывно зависящих от параметра t Î [0, 1], что f0 = f и f1 = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = ft (x), х Î X , t Î [0, 1] определяет непрерывное отображение F : Х ´ [0, 1] ® Y ; это отображение, а также семейство {ft } называют гомотопией, связывающей f с g ). Совокупность всех непрерывных отображений X ® Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Х в Y обозначается символом [X , Y ]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X , Y ] составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества [X , Y ] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Х и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f : Х ® Y и g : Y ® Х , что непрерывные отображения g×f : Х ® Х и f×g : Y ® Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).
Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f : A ® Y ; точнее, если для f распространение g : Х ® Y существует, то для любой гомотопии ft : A ® Y (с f0 = f) существует распространение gt : Х ® Y такое, что g0 = g . Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h , то есть такие, что h(f0 ) = h(f1 ), если отображения f0 и f1 гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.
Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = [X , Y ] и h(f) = [jf], где f : X 1 ® X 2 и j : X 2 ® Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h , о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y . Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h (X ) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x 0 и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x 0 в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н -пространствами. Таким образом, каждое Н -пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = [X , Y ], значениями которого являются группы.
Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = [Y , X ], h(f) = [f j], где f : X1 ® X 2 и j : Y ® X 1 , некоторый функтор h . Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н -пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н -пространствами. Примером ко-Н- пространства является n -мepная сфера S n (при n ³ 1 ). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула pn X = [S n , X ] определяет некоторую группу pn X , n ³ 1 , которая называется n -й гомотопической группой пространства X . При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа pn X коммутативна. Если p1 X = {1}, то Х называется односвязным.
Клеточное пространство Х называется пространством K (G, n ), если pi (X) = 0 при i ¹ n и pn X = G ; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K (G, n ) оказывается Н -пространством и потому представляет некоторую группу H n (X ; G) = [X ; K(G, n) ]. Эта группа называется n -мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G . Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К -функтор KO(X) = [Х , BO ], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO , группы ориентированных кобордизмов Wn X и т.п.
Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H n (X; G) является алгеброй над G . Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Zp , где Zp — циклическая группа порядка р ) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры p , называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H n (X; G), а с другой — установить связи между группами H n (X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами pn X ), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.
Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий Hn (X; G) , являющиеся гомотопическими группами pn M(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G) , однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G . Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.
