Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.
4. Кусочно-линейная топология
Подмножество Р Î называется конусом с вершиной а и основанием В , если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab , где b Î В. Подмножество Х Î называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X ® Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х Î X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.
Подмножество Х Î тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов , пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:
а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К ; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n -мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C n (K; G) ;
б) выбросив из упорядоченного n -мерного симплекса s вершину с номером i , 0 £ i £ n, получим упорядоченный (n— 1)-мерный симплекс, который обозначается символом s(i ) ; цепь называется границей s; по линейности отображение распространяется до гомоморфизма : Cn (K; G) ® Cn -1 (K; G) ;
в) цепи с , для которых = 0, называются циклами, они составляют группу циклов Zn (K; G);
г) цепи вида называются границами, они составляют группу границ Bn (K; G) ;
д) доказывается, что Bn (K; G) Ì Zn (K; G) (граница является циклом); поэтому определена факторгруппа
Hn (K; G) = Zn (K; G)/ Bn (K; G) .
Оказывается, что группа Hn (K; G) изоморфна группе гомологий Hn (X; G) полиэдра X , триангуляцией которого является К . Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций, определённых на множестве всех упорядоченных симплексов и принимающих значения в G ), даёт группы когомологий.
С этой конструкции, изложенной здесь в несколько модифицированной форме, и началось по существу становление алгебраической Т. В первоначальной конструкции рассматривались так называемые ориентированные симплексы (классы упорядоченных симплексов, отличающихся чётными перестановками вершин). Эта конструкция развита и обобщена в самых разнообразных направлениях. В частности, её алгебраические аспекты дали начало так называемой гомологической алгебре.
Самым общим образом симплициальную схему можно определить как множество, в котором отмечены некоторые конечные подмножества («симплексы»), причём требуется, чтобы любое подмножество симплекса было снова симплексом. Такая симплициальная схема является симплициальной схемой триангуляции некоторого полиэдра тогда и только тогда, когда число элементов произвольного отмеченного подмножества не превосходит некоторого фиксированного числа. Впрочем, понятие полиэдра можно обобщить (получив так называемые «бесконечномерные полиэдры»), и тогда уже любая симплициальная схема будет схемой триангуляции некоторого полиэдра (называемого её геометрической реализацией).
Произвольному открытому покрытию {U a } каждого топологического пространства Х можно сопоставить симплициальную схему, вершинами которой являются элементы U a покрытия и подмножество которой тогда и только тогда отмечено, когда элементы покрытия, составляющие это подмножество, имеют непустое пересечение. Эта симплициальная схема (и соответствующий полиэдр) называемому нервом покрытия. Нервы всевозможных покрытий в определённом смысле аппроксимируют пространство Х и, исходя из их групп гомологий и когомологий, можно посредством соответствующего предельного перехода получать группы гомологий и когомологий самого X . Эта идея лежит в основе почти всех конструкций общей теории гомологий. Аппроксимация топологического пространства нервами его открытых покрытий играет важную роль и в общей Т.
5. Топология многообразий
Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n- мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству . В этой окрестности точки задаются n числами x1 , …, xn , называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в , называются гомеоморфизмом перехода.
Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из называть t -гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p -гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, — s -гомеоморфизмом.
Пусть a = t, p или s. Топологическое многообразие называется a-многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются a-гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт a-структуру на топологическом многообразии X . Таким образом, t -многообразие — это просто любое топологическое многообразие, p -многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n -мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n -мерному кубу. s -многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. a-отображением a-многообразия называются называется при a = t произвольное непрерывное отображение, при a = s — произвольное кусочно-линейное отображение, при a = s — произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное a-отображение, обратное к которому также является a-отображением, называется a-гомеоморфизмом (при a = s также диффеоморфизмом), a-многообразия Х и Y называются a-гомеоморфными (при a = s — диффеоморфными), если существует хотя бы один a-гомеоморфизм X ® Y . Предметом теории a-многообразий является изучение a-многообразий и их a-отображений; при этом a-гомеоморфные a-многообразия считаются одинаковыми. Теория s -многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s -многообразий называется также гладкой Т.
