активов.
Линейные комбинации
■ Опцион на линейную комбинацию активов имеет следующие характеристики:
В эту категорию входят корзинные опционы, спред-опционы и любые комбинации, которые только можно представить. Кроме того, как мы увидим далее, в нее можно включить и азиатские опционы.
Пример.
● При n = 2 и w1 = w2 = 1 опцион будет коллом, путом или другим опционом (например, цифровым) на базовый актив, представляющий собой сумму двух активов.
● При n = 2 и w1 = w2 = –1 опцион будет коллом, путом или другим опционом на базовый актив, представляющий собой спред между двумя активами. Такие опционы обычно называют опционами Маргрейба[203].
● При n = 500 и wi переменная базовая корзина будет опционом на фондовый индекс, и т. д.
Линейные комбинации активов ставят проблему логнормальности, которая не возникает в других структурах. Для иллюстрации предположим, что активы A и B являются логнормальными.
где ∆t – время до экспирации структуры, A0 и B0 – начальная цена активов, σA и σB – волатильности, ZA и ZB – винеровские процессы, независимо одинаково распределенные с единичным отклонением и средним значением 0.
Нетрудно заметить, что сумма W = A + B не укладывается в геометрическую броуновскую форму.
Это относится и к W = A – B, в то время как при W = AB мы получаем:
а при W = A/B:
т. е. в обоих случаях имеем геометрическое броуновское движение.
Корзинные опционы
Корзинными называют опционы на взвешенную сумму двух или более активов. Цена страйк обычно устанавливается на чистую взвешенную сумму. Корзинные опционы распространены чрезвычайно широко, поскольку многие продукты нередко рассматриваются как корзинные опционы какого-либо подкомпонента.
Мы не будем подробно рассматривать эти опционы, поскольку их можно анализировать просто как опционы на продукт, причем продуктом выступает базовая корзина. Однако две особенности этих опционов – логнормальность и корреляция между основными активами – в каком-то смысле делают их уникальными.
Логнормальность
Хеджирование корзинных опционов может оказаться довольно сложным при торговле на рынках, характеризующихся сильным перекосом волатильности.
Многие операторы оценивают корзинные опционы так, как если бы базовая корзина была товаром сама по себе и подчинялась стохастическому процессу, аналогичному процессу, которому подчиняются другие сырьевые товары, с волатильностью, вытекающей из ее собственных временны́х рядов. Это, однако, противоречит тому факту, что среднее значение (или любая линейная комбинация) активов с логнормальным распределением не подчиняется логнормальному распределению. Соответственно, возникает конфликт между утверждением, что компоненты S&P100 являются логнормальными, и тем, что S&P100 – это товар. В таких случаях операторы выходят из положения с помощью произвольного допущения, что наиболее продаваемая часть корзины или какой-либо компонент становится логнормальным продуктом.
Эта проблема характерна для свопов и евродолларовых опционов. Как известно, стрип – это корзина евродолларовых контрактов, собранных воедино и взвешенных с помощью дисконтирующего фактора. Опцион на стрип, таким образом, является корзинным. Какой из них должен быть логнормальным?
Ситуация с фондовыми индексами и продуктами с фиксированным доходом смягчается тем, что при высокой корреляции между компонентами их сумма становится похожей на актив с логнормальным распределением.
Проблему иллюстрирует следующий пример.
Пример. Имеем два некоррелированных актива A и B с ценами SA и SB, независимо логнормально распределенными с волатильностями σA и σB.
В соответствии с правилом корзины, волатильность корзины S, содержащей два актива (A и B), будет равна взвешенному квадратному корню из разности волатильностей и корреляции, в данном случае равной нулю. Поэтому
где wA и wB – веса активов (более общая формула представлена в следующем разделе).
На рис. 22.7 наглядно показано, почему процесс, волатильность которого известна, не является логнормальным.
Допустим, что дрейфа нет, а веса равные – 0,5, SA и SB торгуются по начальной цене 100 и при волатильности 50 %. В этом случае оператор может ожидать результирующую чувствительность позиции, являющейся длинной по комбинации опционов на активы и короткой по корзине (в соотношении, соответствующем гамма-нейтральности). Это похоже на реверсию риска. На рис. 22.7 представлена такая позиция при высокой волатильности. Более серьезную проблему в этой области мы обсудим в разделе, посвященном азиатским опционам.
Проблемы корреляции
Рассмотрим мультиактивную структуру на n базовых ценных бумаг. Не учитывая проблему логнормальности[204], оператор может считать структуру псевдованильным опционом и оценивать исходя из предположения, что ее волатильность является волатильностью корзины. Чтобы определить чувствительность к корреляции, он должен оценить структуру при разных уровнях корреляции. Наиболее высокой точности можно достичь, умножив вегу на эффект корреляции для волатильности.
Мастер опционов: псевдованильные опционы
Псевдованильными называют опционы, используемые при управлении рисками для тестирования отдельных видов чувствительности более сложного продукта.
Псевдованильные опционы для корзины – это опционы, которые торгуются при чистой волатильности корзины. Их можно использовать только для тестирования отдельных видов чувствительности.
Псевдованильные опционы для барьерного опциона – это, как мы видели ранее, реверсия риска, если они протестированы только на эффект перекоса волатильности. Они также могут представлять собой (да-да, разумеется) календарный спред, если они протестированы только на чувствительность к временнóй структуре волатильности.
Прежде чем оценивать влияние повышения любой из волатильностей на структуру в целом, трейдер должен обновить некоторые формулы в электронной таблице.
Предположим, что корзина S является суммой активов с Xi по Xn с индивидуальными весами w, т. е.:
S = w1X1 + w2X2 + … + wnXn.
Если σS – волатильность корзины, а σi – волатильность актива i, cov(i, j) – ковариация между активами i и j, ρi, j – корреляция между активами i и j, то оператор имеет:
Поскольку корреляция является отношением ковариаций к произведению отдельных дисперсий, получаем следующее равенство:
Отсюда следует, что вега корреляции (как мы можем ее назвать) структуры равна:
Пример (упрощенный). Однолетний опцион на среднее значение USD-DEM и USD-JPY, страйк 1,19 (для простоты делим иену на 100), в настоящее время при деньгах. Пара USD-DEM торгуется на уровне 1,42, USD-JPY – на уровне 100. Ставки составляют 5 % по USD, 5 % по DEM и 1 % по JPY. Примечание. Чтобы рассчитать форвард корзины, можно использовать линейные веса форвардов. Это несложно (учитывая однородность функции), поскольку:
Форвард (∑wiSi, t) = ∑wi форвард (Si, t).
Таким образом, оператор может игнорировать форвардную кривую (принимая во внимание отсутствие теневой гаммы) и для вычисления волатильности просто использовать спот.
Волатильности USD-DEM и USD-JPY за 6 месяцев составят 11,85 % и 11 % соответственно. Предположим, что каждый вес равен 0,5. Корреляция между инструментами составляет 0,60. Без учета логнормальности корзинный опцион может быть оценен как ванильный опцион с волатильностью, равной:
(1,19 0,5 + 1,42 0,5)–l (0,52 0,112 1,192 + 0,52 0,11852 1,422 + 2 0,5 0,5 0,6 0,11 0,1185 1,42 1,19)½ = 10,28 %.
Если корреляция упадет до 0,5, волатильность корзины уменьшится до 9,96 %. Если корреляция начнет двигаться в сторону –1, цена опциона будет снижаться.
В табл. 22.2 представлен упрощенный
