Однако ту же фигуру можно превратить в симметричную ей и путем поворота в трехмерном пространстве, но при этом она не выворачивается наизнанку. С другой стороны, если наша плоская фигура обладает достаточной гибкостью, то ее можно вывернуть наизнанку, перекрутив каждую часть на 180°, при этом она не перейдет в симметричную фигуру.
Гипертело, то есть часть четырехмерного пространства, можно разделить на две части 3-пространством. Таким образом, сечение, разрезающее гипертело на две части, окажется трехмерным. Плоскостью невозможно разделить гипертело на две части, так же как прямой нельзя разделить на две части тело в трехмерном пространстве. Прямая может проходить через тело в трехмерном пространстве, прорезая в нем дырочку. Прямая может проходить и сквозь гипертело, также прорезая в нем мельчайшее отверстие. Стержень, или материальная прямая, имеющий значительную протяженность вдоль одного главного измерения и очень маленькие размеры по трем остальным измерениям, пронзит гипертело, образовав в нем отверстие. Но гипертело можно пронзить и плоской пластинкой, имеющей сравнительно большую протяженность по двум измерениям и очень маленькую протяженность по двум другим. Пластина, прорезающая гипертело, могла бы иметь бесконечную протяженность по двум главным направлениям, но гипертело при этом не распалось бы на части. Таким образом, отверстия в пространстве четырех измерений бывают двух типов: одномерные и двумерные.
Одномерное отверстие может проходить сквозь четырехмерное тело в направлении, перпендикулярном нашему трехмерному пространству, и тогда четырехмерное тело покажется нам полностью замкнутым, но полым, наподобие полой сферической оболочки. Сквозь такое отверстие может проходить стержень или нить, которые будут удерживаться в нем жестко, но стержень или нить, проходящие сквозь, двумерное отверстие, будут сразу же выскальзывать, если мы потянем их за конец. Стержень, изогнутый так, что концы его можно соединить и приварить один к другому, превращается в кольцо. Отверстие этого кольца двумерно. Сцепить два кольца невозможно, но в четырехмерном пространстве мы легко можем сцепить кольцо и полую сферу. Более того, чередуя кольца и полые сферы, можно построить целую цепочку. В обычном узле один из концов веревки проходит сквозь кольцо, образованное самой веревкой, и тотчас же скрывается в четвертом измерении[10].
Колесо из четырехмерной материи в двух измерениях имеет форму окружности, а его размеры в двух остальных измерениях очень малы. Осью такого колеса служит не стержень, а плоская пластина. Во всех направлениях, лежащих в ее плоскости[11], осевая пластина может простираться до бесконечности, не мешая колесу свободно вращаться. Колесо можно снять с осевой пластины, если только оно не закреплено на ней, так же, как трехмерное колесо свободно снимается со своей оси. Находясь в 3-пространстве, мы увидим осевую пластину и два противоположных радиуса (две спицы) четырехмерного колеса, причем спицы будут казаться нам не связанными между собой. Так мы можем увидеть двумерное отверстие, а также все колесо с отверстием и осевым стержнем, высекаемым из осевой пластины нашим 3-пространством.
Мы можем жестко скрепить колесо с осевой пластиной так, что она будет поворачиваться вместе с колесом, при этом четырехмерное колесо будет вращаться в своей плоскости, а осевая пластина поворачиваться по самой себе. На одну осевую пластину можно насадить несколько колес, расположив различные колеса в различных точках пластины. Если эти колеса жестко скреплены с осевой пластиной, то, повернув одно из них, мы можем повернуть все остальные. Так мы получаем возможность строить различные механизмы в пространстве четырех измерений.
Ничто не мешает нам выбрать в качестве осевой пластины колесо. Оба колеса — основное и ось — можно скрепить в их центрах так, чтобы они были абсолютно перпендикулярны. Такая фигура может вращаться двумя способами: плоскость каждого из четырехмерных колес служит осевой плоскостью вращения другого, а плоскость другого колеса — плоскостью вращения.
Четырехмерное колесо может быть дважды круговым. В этом случае плоскость, абсолютно перпендикулярная колесу, пересекает его по малой окружности, а плоскость, совпадающая с плоскостью самого колеса, пересекает колесо по большой окружности. Дважды круговое колесо может вращаться двумя различными способами и в каждом из двух случаев совершать полные обороты, не проходя через новые части четырехмерного пространства.
Рассмотрим сферическое четырехмерное колесо. Это тело, имеющее вид сферы в трех измерениях и очень небольшой размер в четвертом измерении. Такое колесо с одномерным отверстием, сквозь которое можно пропустить осевой стержень, будет вращаться, но его движение не ограничивается определенным направлением вращения, как это происходит с плоским колесом, вращающимся в одной плоскости. Для механизма, требующего определенное направление вращения, мы будем пользоваться плоскими колесами с осевыми пластинками[12]. Сферическое колесо можно использовать для четырехмерных экипажей. Если четырехмерные существа живут на четырехмерной Земле, то есть на ее трехмерной границе, то экипаж с четырьмя колесами любого рода или с большим числом колес оказался бы незаменимым при путешествиях. Экипаж с плоскими колесами мог бы передвигаться лишь по прямой без трения между колесом и поверхностью земли. Экипаж со сферическими колесами мог бы передвигаться по плоскости в любом направлении без трения, которое возникало бы лишь при переходе из одной плоскости в другую.
Для устойчивости экипаж должен был бы обладать по крайней мере четырьмя колесами, а последние должны были бы иметь по крайней мере две оси. Даже если экипаж имел бы плоские колеса и осевые пластины, нам понадобились бы по крайней мере две такие пластины. Для того чтобы находиться в равновесии, необходимо иметь четыре точки опоры, причем все они не должны быть расположены в одной плоскости.
Трудно представить себе, каким образом границы гипертел, то есть конечных частей четырехмерного пространства, могут быть трехмерными. Ясно, что этого требует аналогия, но понять, каким образом каждая точка, лежащая внутри трехмерного тела, может разделять две части, на которые рассекает четырехмерное пространство это трехмерное тело, довольно трудно. Находясь в любой точке внутри трехмерной границы гипертела, мы можем выйти из нее по трем взаимно перпендикулярным направлениям, оставаясь при этом внутри границы. Столько же взаимно перпендикулярных направлений мы насчитываем в нашем трехмерном пространстве. Нам придется идти по кривой траектории, если граница гипертела искривлена, но в начале пути мы можем выйти из точки по трем взаимно перпендикулярным направлениям точно так же, как в нашем трехмерном пространстве.
Гипертело, ограниченное многогранниками, можно вскрыть и разложить многогранники в одном 3-пространстве. Обращая этот процесс, мы можем образовать границу гипертела, составляя ее из надлежащим образом подобранных трехмерных тел в 3-пространстве и поворачивая их затем вокруг общих граней так, чтобы в конце концов они образовали границу гипертела. Трехмерные тела при этом не деформируются и не распадаются. Так, если мы возьмем куб, разместим
