граням. Число вершин Число ребер Число граней (квадратов) Число кубов В начальном положении куба 8 — 8 16 Возникли при движении 12 8 12 32 В конечном положении куба 6 12 6 24 В гиперкубе 1 6 1 8
Вращение на плоскости может происходить лишь вокруг точки, в 3-пространстве возможно вращение вокруг прямой, а в гиперпространстве — вокруг осевой плоскости. Две симметричные плоские фигуры, например треугольники A и B (рис. 3), нельзя совместить никаким движением в плоскости, но, повернув один из них на 180° в третьем измерении, мы без труда совместим их.
Рис. 3.
Аналогично два симметричных объемных тела (грани которых равны, но расположены в ином порядке), такие, как полые пирамиды C и D (рис. 4), нельзя совместить никаким движением в нашем пространстве, но, повернув любую из них на 180° в гиперпространстве, мы без труда совместим их. Поворачиваемая пирамида исчезнет из нашего пространства и после поворота на 180° и возвращения в наше пространство ее легко будет «надеть» на другую пирамиду. В нашем пространстве два вращательных движения всегда можно заменить одним результирующим движением, аналогичным исходным, но отличающимся от них лишь положением оси вращения. В гиперпространстве в общем случае построить результирующее вращательное движение для двух вращений не удается. Следовательно, в гиперпространстве существует два различных типа вращательных движений, и тело, совершающее два вращательных движения, находится в совершенно ином состоянии, чем тело, участвующее лишь в одном вращательном движении. Если тело совершает лишь одно вращательное движение, то целая плоскость в нем остается неподвижной. Если тело совершает двойное вращательное движение, то ни одна его часть не остается неподвижной, за исключением точки, принадлежащей двум плоскостям вращения. Если оба поворота одинаковы, то каждая точка в теле, за исключением неподвижной точки, описывает окружность.
Рис. 4.
Движение в гиперпространстве отличается большей свободой, чем в нашем пространстве. В нашем пространстве твердое тело обладает шестью степенями свободы, а именно тремя сдвигами вдоль оси и тремя поворотами вокруг оси. Закрепив неподвижно три точки твердого тела, мы лишим его способности двигаться вообще. В гиперпространстве твердое тело с тремя неподвижно закрепленными точками по-прежнему сохраняет способность вращаться вокруг плоскости, проходящей через эти точки. Твердое тело в гиперпространстве обладает десятью степенями свободы, а именно четырьмя сдвигами вдоль четырех осей и шестью поворотами вокруг шести плоскостей. Чтобы лишить твердое тело способности двигаться в гиперпространстве, необходимо закрепить четыре его точки.
Рис. 5.
В гиперпространстве гибкую сферу можно, не растягивая и не разрывая, вывернуть наизнанку. Два звена цепи в четырехмерном пространстве можно разъять, не распиливая ни одно из них. Все наши узлы в четырехмерном пространстве были бы совершенно бесполезны. Например, узел, изображенный на рис. 5, в четырехмерном пространстве можно было бы развязать, оставляя при этом концы веревки по-прежнему прикрепленными к стенке. В нашем пространстве точка может войти внутрь окружности и выйти из нее, не пересекая при этом саму окружность. В гиперпространстве тело могло бы войти внутрь сферы (или любой другой замкнутой поверхности) и выйти из нее, не пересекая при этом поверхности сферы. Короче говоря, все наше пространство, в том числе и внутренность самых плотных тел, открыто наблюдению и более грубому вмешательству со стороны четвертого измерения, незримо простирающегося в невидимом направлении из каждой точки пространства.
Для чего же понадобилось вводить понятие гиперпространства? Услышав такой вопрос, мы могли бы ответить, что оно позволяет глубже понять геометрию. Например, окружность, рассматриваемая лишь как одномерное множество точек, обладает весьма немногими свойствами, в то время как у окружности на плоскости имеется центр, радиус, касательные и т. д., а окружность в 3-пространстве обнаруживает многочисленные геометрические связи со сферой, конусом и т. д. Аналогичным образом возрастает число свойств любой заданной кривой или поверхности при рассмотрении их в гиперпространстве. Кроме того, в 3-пространстве существуют некоторые одномерные множества (например, винтовая линия), не известные в пространстве двух измерений. В гиперпространстве возможны кривые и поверхности, с которыми нам не приходилось сталкиваться в нашем пространстве. Пространство меньших размерностей содержится в пространстве высших размерностей (если пространства искривлены, то размерности не обязательно должны отличаться на единицу). И так же как понимание планиметрии существенно расширяется при рассмотрении плоских фигур в 3-пространстве, так и многие вопросы стереометрии получают неожиданное освещение при рассмотрении их с точки зрения гиперпространства. Области математики, ранее недоступные геометрии, ныне, с появлением геометрии четырех измерений, обрели свою геометрическую интерпретацию. Наконец понятие четвертого измерения знаменует разрыв между геометрическим пространством и реальным пространством, которое утрачивает свой обязательный характер, и расширяет наш кругозор во многих других отношениях.
Неевклидова геометрия и четвертое измерение
Четвертое измерение — побочная ветвь так называемой неевклидовой геометрии, позволившей пролить свет на основания математики и природу пространства.
Более двух тысяч лет Евклид считался неуязвимым. Его аксиомы принято было рассматривать как незыблемые законы реального пространства, а его теоремы — как безупречные логические следствия из этих аксиом. Оба мнения оказались ошибочными. Аксиомы Евклида в действительности представляют собой абстрагированные из свойств реального пространства допущения, и его теоремы следуют не только из принятых им аксиом[14]. В основе метода Евклида лежит проверка равенства, или конгруэнтности, прямых, углов, плоских фигур и т. д. путем наложения их, и, таким образом, приводимые Евклидом доказательства по существу основаны на интуиции. Аксиому «абсолютной подвижности» (то есть аксиому, предполагающую, что фигуры в пространстве можно свободно перемещать с одного места в другое, не меняя их размеров и формы), которая, например, не выполняется на яйцевидной поверхности, но играет существенную роль при любых геометрических измерениях, Евклид принимает молчаливо, не формулируя ее в явном виде. (Гильберт отверг доказательство путем наложения фигур, ибо само движение основано на некоторых геометрических соображениях и потому не может служить основанием геометрии.) Другое неявное допущение Евклида состоит в том, что прямую можно неограниченно продолжать. Истинность этого утверждения, справедливого в евклидовой геометрии, нарушается в некоторых неевклидовых геометриях (например, в римановой геометрии).
Евклид доказывает, что «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», но доказать вытекающие
