выше и составит 1/6 или 0,16. Это объясняется тем, что шестигранный кубик проще в том смысле, что на нем меньше чисел. Байес умножает априорную вероятность 0,5 на 0,16 и получает апостериорную вероятность 0,08. Это в 10 раз больше, чем апостериорная вероятность для шестидесятигранного кубика. Таким образом, вероятность того, что число 5 выпадет на шестигранном кубике, в десять раз превышает вероятность для шестидесятигранного кубика. Благодаря новому методу статистических вычислений Байес снова угадывает и снова побеждает в игре.
Принцип правдоподобия обеспечивает байесовскую статистику собственной встроенной бритвой, с помощью которой отсекается лишнее и остаются только простые модели с более высокой вероятностью получения результатов. Для наглядности возьмем пространство параметров, представляющее собой диапазон возможных значений для каждой модели или гипотезы, или диапазон наблюдаемых результатов, получаемых при использовании такой модели или гипотезы. Посмотрите на спираль чисел на рис. 39. В маленьком кружочке в центре находятся те числа (от 1 до 6), которые могут выпасть, если бросить шестигранный кубик, – это параметрическое пространство для шестигранного кубика. Больший по площади кружок очерчивает пространство параметров для шестидесятигранного кубика, а все остальное пространство, уходящее в бесконечность, заполнено числами, которые не могут выпасть ни на одном из них. Обратите внимание на то, что пространство параметров шестидесятигранного кубика включает меньшее пространство значений шестигранного кубика. Обведенное в кружок число 5 находится в обоих пространствах, поскольку может выпасть на любом кубике. Однако оно может выпасть и если в распоряжении мистера Прайса будет кубик с семьюдесятью гранями, восьмьюдесятью или бесконечным количеством граней. Итак, мы вновь подошли к главной проблеме науки, о которой не раз говорили на страницах этой книги, – проблеме выбора модели. При наличии множества моделей, каждая из которых объясняет интересующее нас явление, как сделать правильный выбор? Суть байесовской бритвы в том, что выбор делается в пользу той теории, гипотезы или модели, на область числовых значений которой (число 5 в нашем примере) приходится наибольшая доля пространства параметров (шестигранный кубик) и которая, таким образом, обладает наибольшей прогностической способностью. Это неизменно самая простая модель: бритва Оккама.
Рис. 39. Пространство параметров шестидесятигранного кубика
Заложенный в теории вероятности Байеса принцип бритвы Оккама – пример научного подхода к выбору оптимальной модели. Рассмотрим закон Ньютона, утверждающий, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие». Таким образом, когда вы пинаете футбольный мяч, сила удара вашего ботинка (действия) на мяч встречается с силой ответного действия (равного и противоположного противодействия) мяча на носок вашей ноги. Этому простому закону подчиняется любой удар ногой по мячу в любом футбольном матче. Однако есть и другой закон, в равной степени сопоставимый с имеющимися данными: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие плюс маленький невидимый демон, толкающий мяч, заставляя его прижиматься к носку вашей ноги». Найдется и третья гипотеза, в которой будет уже два демона, и четвертая, где к двум демонам присоединится ангел, и каждый участник отвечает за определенную составляющую действия мяча в ответ на силу вашего удара по мячу. Так количество моделей или гипотез будет множиться до бесконечности.
Это довольно банальный пример, однако к нему стоит присмотреться. Теория эфира, эпициклы Птолемея, флогистон, жизненная сила, «знающий дух» Генри Мора, созидательная сила Творца, магнетизм и электричество, пространство и время, гравитация и ускорение, мельчайшие неделимые порции энергии – все это примеры сложных моделей, объясняющих движущие силы Вселенной. Нельзя отказаться ни от одной из них, руководствуясь лишь логикой, однако наука требует делать выбор в пользу более простой модели, если таковая имеется. Метод Байеса дает статистические обоснования такого предпочтения и является подтверждением действия бритвы Оккама.
Все революционные прорывы в науке, совершенные Коперником, Ньютоном, Менделем, Дарвином и другими учеными, так называемые «смены парадигм», по определению американского историка и философа науки Томаса Куна, связаны с отказом от более сложных моделей в пользу простых. Эти великие ученые отдавали предпочтение простым моделям, исходя из мистических, теологических, эстетических принципов или простой интуиции. Хотя принцип бритвы Оккама неоднократно подтверждался в науке[446], я все же полагаю, что яснее всего его сущность выражается в теории вероятности Байеса. В науке бритва Оккама отдает предпочтение простым моделям и теориям не потому, что они красивы, хотя нередко это так; не потому, что они проще для понимания, хотя, как правило, так и бывает; не потому, что допускают меньше предположений, хотя и это верно; и не потому, что они дают более точные прогнозы, хотя это всегда так; но потому, что вероятность их соответствия действительности более высока.
Тем не менее важно помнить, что стремление к простым решениям – это свойство современной науки. До Уильяма Оккама поиск ответов на вопросы, как правило, сопровождался появлением дополнительных сущностей. Уильям Оккам был первым, кто стал говорить о необходимости добираться до простых решений, отражающих суть проблемы. Благодаря ему этот принцип стал основополагающим в науке и отличительным признаком ее современности.
ПРОСТАЯ ИСТИНА?
Байесовский взгляд на бритву Оккама позволяет прояснить, почему ученые, от Коперника до Тихо Браге и от Галилея до Ньютона, ничуть не сомневались в том, что Земля вращается вокруг Солнца, хотя бесспорных доказательств этого не было. В работах историков и философов науки, таких как Томас Кун[447] и Артур Кёстлер[448], вера в гелиоцентричность при отсутствии убедительных доказательств неоднократно приводилась в качестве примера того, что вопреки мнению многих ученых наукой движет не столько рациональное, сколько нечто иррациональное, складывающееся на основе личных предпочтений и культурных традиций. Так, например, Кун утверждает, что с практической точки зрения новая планетарная система Коперника была неудачной; она не отличалась ни большей точностью, ни простотой в сравнении с предшествовавшей ей системой Птолемея. Кёстлер отмечает, что в моделях Коперника и Птолемея можно насчитать от 30 до 80 циклов или эпициклов – все зависит от того, что считать циклом или эпициклом. Находясь на этих позициях, Кун и Кёстлер полагают, что оба великих ученых выбрали ложный критерий простоты.
Постмодернисты и представители релятивизма в истории и философии XX века ухватились за этот аргумент, подтверждавший их собственные убеждения, что наука может претендовать на объективность не более, чем любая другая система взглядов. Например, историк и философ науки Пол Фейерабенд (1924–1994) пишет: «Если иметь в виду обширный исторический материал <…> то выясняется, что существует лишь один принцип, который можно защищать при всех обстоятельствах и на всех этапах человеческого развития, – все дозволено»[449]. Постмодернисты склонны рассматривать науку в одном ряду с другими системами верований, такими как религия, мистицизм, колдовство, народные поверья, астрология, гомеопатия, вера в паранормальные явления. Они считают, что каждая из них имеет
