Фреге предложил считать числа названиями множеств определенного вида. Чтобы сделать свое определение точным, он ввел понятие расширения свойства, как множества, состоящего из всех объектов, этим свойством обладающих. О названии «расширение» лучше всего думать как о слове, произошедшем от словосочетания «расширенный набор». Так, расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» является множество, состоящее из всех множеств, которые имеют тот же размер. Понятие «иметь такой же размер» в теории множеств вполне определенно: оно означает, что элементы множеств одного размера могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Например, множество {Том, Дик, Гарри} имеет такой же размер как {камень, ножницы, бумага}, поскольку Тома можно привести в соответствие с камнем, Дика с ножницами, а Гарри с бумагой (рис. 10.7). Может показаться, что теория множеств чересчур уж тщательно заботится об определениях: но эта забота совершенно необходима, когда речь идет об основаниях математики. Расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» будет, таким образом, множество, состоящее из множеств {Том, Дик, Гарри}, {камень, ножницы, бумага} и так далее. А теперь мы с грохотом плюхаемся на землю: мы называем это расширение, это множество, числом 3.
Рис. 10.7. Множество объектов имеет тот же самый размер, что и другое множество, если элементы этих множеств могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Эти два множества имеют один и тот же размер: если убрать самолетик, они будут иметь разные размеры.
Продолжая, Фреге определил натуральные числа как следующие расширения:
0 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из элементов, которые не тождественны самим себе»
(конечно, того, что не тождественно самому себе, не существует).
1 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество 0».
2 есть название расширения свойства «иметь такой же размер, как множество, состоящее из множеств 0 и 1»,
и так далее. Решающим моментом этого определения чисел как названий множеств, последовательно определяемых в терминах меньших множеств, является то, что в нем используются термины, взятые из математической логики, а именно «свойство», «равенство» и «отрицание». Это привело Фреге к точке зрения, что математика есть не более чем логика.
Логикой это могло быть, но удовлетворительным не могло. В 1902 г. незадолго до того, как Фреге был готов отправить издателю второй том своего огромного труда Grundgesetze der Arithmetik (Фундаментальные законы арифметики), в котором он возводил все здание математики, опираясь на это определение числа, он получил от Бертрана Рассела знаменитое письмо, указывающее на существование одного несоответствия. Собственные слова Фреге живо передают охвативший его ужас, когда он распечатал письмо Рассела:
Вряд ли ученый[51] может столкнуться с чем-нибудь более нежелательным, чем необходимость сдаться как раз тогда, когда работа закончена. Именно в такое состояние повергло меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда работа вот-вот должна была отправиться в печать.
Бертран Рассел (1872-1970) указал Фреге на проблему расширения свойства «не принадлежать самому себе». Предположим, мы рассматриваем множество, состоящее из множеств, которые не являются элементами самих себя. Например, множество, состоящее из «абстрактных идей», является элементом самого себя, поскольку такое множество само является абстрактной идеей, в то время как множество, состоящее из «фруктов», не является элементом самого себя, поскольку само это множество не есть фрукт. Рассел спросил, принадлежит ли самому себе множество всех множеств, не принадлежащих самим себе? Если оно принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, не принадлежащим самим себе. Если оно не принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, принадлежащим самим себе. Короче говоря, если оно да, то оно нет, а если оно нет, то оно да. Антиномию (противоречие, парадокс) Рассела многократно выражали в более повседневных разговорных терминах, таких как «брадобрей в этом городке бреет всех мужчин, которые не бреются сами: бреет ли брадобрей себя?».
Антиномия Рассела подорвала программу Фреге, а вместе с ней и основания математики. Причина коррозионного действия противоречия состоит в том, что в логике справедлива теорема: если система аксиом теории приводит к противоречию, то любые предложения, которые можно сформулировать в теории, являются ее доказуемыми теоремами. Поэтому, если определения Фреге приводят к противоречию, то из них можно вывести какую угодно теорему, включая «1 = 2» и «√2 есть рациональное число». Следовательно, в качестве оснований арифметики его аксиомы хуже, чем ничего.
Рассел так же глубоко, как и Фреге, был озабочен основаниями математики и в равной мере проявлял интерес к попыткам продемонстрировать, что математика является не более чем ветвью логики. Такова точка зрения логицистической школы философии математики. В 1903 г. Рассел публикует свои The principles of mathematics, а его бывший экзаменатор, а теперь коллега по Кембриджу, Альфред Норт Уайтхед (1861-1947), готовит второе издание A treatise on universal algebra. Оба они пришли к соглашению о сотрудничестве в более амбициозном проекте, заключающемся в доказательстве того, что математика в целом есть подмножество логики. Работа, на подготовку которой они потратили десятилетие, в конце концов появилась в виде трех томов Principia mathematica в 1910, 1912 и 1913 гг. Запланированный четвертый том о геометрии так никогда и не появился. В Principia использовалась тщательно разработанная система обозначений, дающая больше возможностей, чем системы Пеано и Фреге; некоторое представление о ее изощренности можно получить из рис. 10.8, представляющего собой проделанное Расселом и Уайтхедом доказательство того, что 1 + 1 = 2.
и много позже
Рис. 10.8. Факсимиле доказательства того, что 1 + 1 = 2, из Principia mathematica.
Расселу и Уайтхеду было необходимо обойти трясину противоречий, которая засосала Фреге. Чтобы достичь этого, Рассел ввел свою теорию типов, в которой элементам множеств присваивается «тип», и каждое множество может содержать элементы только низшего типа. Так, единичные объекты имеют тип 0, утверждения о множествах этих единичных объектов имеют тип 1, и так далее. Поскольку множество может содержать лишь множества низшего типа, оно никогда не может стать элементом самого себя, так что антиномии Рассела удастся избежать. Однако теория типов все еще недостаточно сильна для того, чтобы устранить некоторые парадоксы, такие как «парадокс Берри», предложение из десяти слов: «наименьшее из целых чисел, определяемых не менее чем одиннадцатью словами». Целое число, удовлетворяющее этому требованию, на самом деле определено предложением из десяти слов, поэтому данное предложение противоречиво. Чтобы избежать опасностей также и этого болота, Рассел был вынужден проложить гать из нового варианта теории типов, который он назвал разветвленной теорией типов. В разветвленной теории обозначения присваивались не только типам рассматриваемых объектов, но также и способам их определения. Principia mathematica основаны на разветвленной теории типов.
Возможно, создается впечатление, что разветвленная теория типов является лоскутным одеялом, сшитым из отдельных уверток. На самом деле, все обстоит гораздо хуже, поскольку в ней оказалось невозможным доказать, что каждое натуральное число имеет следующее за ним или что количество натуральных чисел бесконечно. Чтобы преодолеть эти недостатки, к лоскутному одеялу пришлось пришить аксиому бесконечности, которая просто декларировала существование бесконечности. Но худшее (в смысле увеличения числа лоскутков) было впереди: для корректного определения числа пришлось добавить лоскут аксиомы редуцируемости, связанной с поведением предложений различного порядка. Так или иначе, но логицистическая повестка дня раскручивалась, и, казалось, становилось ясно, что математика не является просто ответвлением логики.
Что также становилось ясным, так это существование проблем с теорией множеств, которую хотели представить как основание математики. Может быть, неприятности теории множеств можно проследить до подлинной проблемы, заключающейся в самом понятии множества, которое выглядит выхолощенным? Может быть, понятие множества слишком широко для математиков? В начале двадцатого века, приблизительно в то же время, когда Рассел и Фреге сражались со своими проблемами, эта точка зрения получила определенную поддержку в форме аксиомы выбора. Эта аксиома является логическим двойником пятого постулата геометрии Евклида (о параллельных прямых, глава 9) и привлекла к себе огромное внимание. Ее простейшая форма выглядит кроткой как овечка: если у вас есть набор множеств, то вы можете составить новое множество, выбирая по одному элементу из каждого множества и добавляя их в свою тележку для покупок. Все мы собираем таким способом элементы множеств в супермаркете, называя вновь сконструированное множество своим шопингом. Кто мог бы возразить против такой процедуры собирания множества?
