Давид Гильберт (1862-1943), прекрасный танцор и любитель пофлиртовать, был одним из наиболее влиятельных математиков двадцатого столетия. Он, как и Кант, родился в Кенигсберге, в Восточной Пруссии (по странному совпадению, Гольдбах тоже родился там). Он знаменит, в частности, тем, что сформулировал проблемы математики, которые, по его ощущениям, на грани веков, то есть в начале двадцатого века, являлись самыми выдающимися. С тех пор многие математики пытались разрешить представленные Гильбертом проблемы, сообщение о которых он сделал на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. В лекции были представлены десять проблем; пока Гильберт работал над версией для публикации, их число выросло до двадцати трех. Влияние этих проблем — которые правильнее считать комплексом из группы проблем и намеков на проблемы, чем двадцатью тремя точно сформулированными отдельными экзаменационными вопросами — проистекает из того, что они представляли собой ответ на вопрос о том, что считать хорошей проблемой. Так, проблемы, предъявленные Гильбертом, стоили того, чтобы потратить время на их решение: они были трудными, но не выглядели нерешаемыми, а решение их осветило бы более широкий круг вопросов, чем те, которые они содержали.
Некоторые из этих проблем решены; некоторые оказались неразрешимыми; иные все еще подвергаются атакам исследователей. Некоторые из проблем, в том виде, в котором Гильберт их сформулировал, являются настолько грандиозными, что неясно, будет ли когда-нибудь получено их решение, столь же определенное, как для других проблем. Например, одной из грандиозных проблем была аксиоматизация физики, утверждение ее на кратком и надежном основании, как это проделал Евклид для своего варианта геометрии, а он, Гильберт, строго формализовал его в своем авторитетном труде Grundlagen der Geometric (Основания геометрии, 1899). То, что он здесь имел в виду, можно истолковать, как формулирование «общей теории всего». Однако большая часть этих проблем вполне опеределенна, особенно если их великодушно интерпретировать. Например, они включали доказательство континуум-гипотезы Кантора (которая оказалась недоказуемой) и гипотезы Римана о том, что некоторая определенная функция комплексного переменного z обращается в нуль на бесконечном множестве значений z, каждое из которых имеет действительную часть, равную 1/2 (рис. 10.9).
Рис. 10.9. Известно, что все решения уравнения 1 + 1/2z + 1/3z + 1/4z + … = 0, где z — комплексное число, лежат в окрашенной полосе между 0 и 1. Одна из форм гипотезы Римана утверждает, что все решения этого уравнения на самом деле лежат на центральной линии полосы (как обозначено маленькими кружками), на которой действительная часть равна 1/2 в каждом случае.
Последняя проблема может показаться не слишком уместной, но на самом деле она имеет фундаментальную важность для изучения простых чисел; она остается нерешенной и считается одной из важнейших нерешенных проблем математики. Позднее мы встретимся с двумя другими проблемами Гильберта явно. Его второй проблемой, которую атаковал и решил отрицательно Гёдель, было доказательство непротиворечивости аксиом арифметики. Его десятой проблемой, так называемой Enischeidungsproblem (проблема решения), которую также атаковали и решили отрицательно Алан Тьюринг и Апонз Чёрч, было обнаружение процесса, посредством которого можно было бы определить, решаемо ли уравнение за конечное число шагов или нет.
Гильберт развил также философию математики, которая стала называться формализмом. Он видел математику как два плотно склеенных листа: один лист состоит из конечных расположений символов, получаемых с помощью применения определенных правил. Эти символы просто образуют определенный рисунок на странице и совершенно лишены смысла. Такие бессмысленные рисунки и есть то, что мы на самом деле понимаем под математикой. Даже аксиомы системы являются просто строчками значков, из которых вытек смысл, интеллектуальными трупами, а новые картинки выводятся из этих строчек посредством применения абстрактных правил. С этой точки зрения математики являются дизайнерами обоев. Единственные надежные доказательства, согласно Гильберту, являются финитистскими, а том смысле, что они являются финитными (то есть конечными) наборами символов, поскольку лишь такие наборы можно обозреть и проверить: безопасная математика — это финитная математика. На втором листе находится метаматематика, которая состоит из комментариев к реальной математике, она содержит комментарии типа «эта строка символов имеет сходство с другой», или «x нужно интерпретировать как особый знак для объекта», или «особая группа знаков указывает на то, что модель является полной», или «вот доказательство этого предложения». Мы можем представлять себе собственно математику как всевозможные расположения фигур на шахматной доске, а сопровождающую ее метаматематику как комментарии типа «для белых существует двадцать возможных первых ходов» или «в этой позиции следует шах и мат». Согласно формалистам, математика — это абстрактный символизм и порождение моделей: метаматематика наделяет символизм и модели значением для человека, она пропитывает значки «смыслом», она восстанавливает у трупов кровообращение.
Существует еще одна школа мысли о природе математики, платоновский реализм. Математики, принадлежащие к этой школе, с презрением отвергают точку зрения формалистов, считающих математику занятием, порождающим лишь бессмысленные строчки символов. Они также с презрением отвергают настойчивые утверждения интуиционистов о том, что математика является проекцией ума, что существование не имеет смысла, пока не проведено его доказательство, и что в отсутствии сознания нет никаких чисел и никаких параллельных линий. Подобно формалистам и интуиционистам, они признают недостаточность логицистического утверждения о том, что математика есть не более чем ветвь логики, и соглашаются с ними, что математика больше, чем логика.
Платоники, как называют этот род математиков, считают, что отсутствующая компонента является реальностью. Математики-платоники являются горняками в забое, разрабатывающими залежи предсуществующих закономерностей и пробивающие свои штреки киркой интеллектуальной рефлексии о мире. Они добывают истину, а не вводят ее. Для них числа являются реальными сущностями, а отношения между числами являются утверждениями об существующих объектах. Для них прямые линии, треугольники и сферы реальны как скалы, а арифметические истины (которые, напомним, означают любой вид математической истины, а возможно, даже более того) являются комментариями к некоему роду существования. Таким образом, они отвергают стерильное равнодушие формализма и субъективную запутанность интуиционизма и считают, что они являются такими же учеными, как и все мы. Они извлекают вневременные истины и находясь в яростной оппозиции к установке интуиционистов, считают, что истины существуют даже в том случае, если их доказательство еще не сформулировано.
Я рассмотрю теперь две из важнейших проблем Гильберта, те две, которые наносят удар в самое сердце философии математики и наиболее прямо исследуют ее возможности. Как я уже упоминал, одной из этих проблем является так называемая Entscheidungsproblem, проблема отыскания систематического способа для определения того, можно ли доказать некоторое утверждение символического языка с помощью аксиом этого языка. Атаку на эту проблему почти одновременно предприняли двое, одним был американский логик Алонзо Чёрч (1903-95), который ввел и разработан то, что он назвал λ-исчислением, а другим — британский математик Алан Мэтисон Тьюринг (1912-54), который ввел «логическую вычислительную машину», известную как машина Тьюринга. Эти два подхода изначально были различны на поверхностном уровне, но сотрудничество Чёрча и Тьюринга показало, что на самом деле они математически эквивалентны. Существует одна чрезвычайно важная сильная сторона математики, ее способность показывать эквивалентность с виду совершенно несравнимых вещей. Мы сосредоточим внимание на подходе Тьюринга, поскольку он имеет больше сходства со знакомым нам современным миром компьютеров, но не должно пройти незамеченным, что λ-исчисление Чёрча ассоциируется с используемым в них программным обеспечением и является его основой.
Машина Тьюринга является прибором, который претендует на имитацию действий человека, производящего некоторого рода алгоритмическое вычисление, то есть вычисление, выполняемое с помощью серии последовательных правил, и в котором мы теперь узнаем представление цифрового компьютера. К первой реализации программируемого цифрового электронного компьютера Тьюринга привела, конечно, его работа со взламыванием кодов во время Второй мировой войны на Блетчли-парк, на севере Лондона, а позже в Манчестере. Благодаря успехам во взламывании кодов, на счету Тьюринга оказалось приписываемое ему уменьшение продолжительности войны на месяцы, если не на годы, и, определенно, спасение многих тысяч жизней. К позору для Англии середины двадцатого столетия, Тьюринг, преследуемый законами и нравами общества того времени (он был гомосексуалистом), рано закончил свою жизнь.
