Во-вторых, он разработал итеративный метод, на каждом шаге которого полученный результат был точнее, чем на предыдущем. Архимед открыл путь, ведущий к бесконечности. Пройти по этому пути до конца невозможно, но вполне возможно вычислить, что ждет нас в конце.
* * *
АРХИМЕД В XXI ВЕКЕ
С помощью тригонометрии и современных технологий можно повторить вычисления Архимеда, используя рекурсивный метод, в котором применяются правильные многоугольники с числом сторон, равным 2n. Площадь 2n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, равна:
Тригонометрия помогает увидеть, что закон, которому подчиняются площади многоугольников, определяется синусами углов вида π/(2n). Этот закон позволяет найти площадь круга Sc:
Компьютер способен вычислить площадь многоугольника с 1024·210 сторонами по предыдущей формуле и показать, что результат близок к ожидаемому: S1024 = 3,1415923…
* * *
Круг — простейшая из криволинейных фигур. Как же вычислить площадь любой другой фигуры? Зная формулу, которая описывает часть кривой, ограничивающей фигуру, математики могут найти площадь этой фигуры с помощью метода, схожего с методом Архимеда. Допустим, что мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой у = х3 между началом координат (0,0) и точкой (1,0).
Эта фигура на иллюстрации выделена серым цветом:
Первым приближением искомой площади будет площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0) и (1,1), равная 1/2. Однако это значение чрезвычайно далеко от истинного.
Метод, о котором мы расскажем далее, называется методом исчерпывания. Архимед использовал его более 2000 лет назад для вычисления площади, ограниченной участком параболы. Первым приближением площади искомой фигуры была площадь треугольника, по форме напоминающего эту фигуру. Теперь мы будем вычислять площадь прямоугольника.
Разделим интервал [0,1] на четыре равных интервала и построим на каждом из них по два прямоугольника — высота одного из них будет равна значению функции на левом конце интервала, высота другого — значению функции на правом конце интервала. Так как f(0) = 03 = 0, высота первого прямоугольника будет равна 0:
Искомая площадь S заключена между суммой площадей меньших прямоугольников S1 (выделены светло-серым) и больших прямоугольников Ss (выделены темно-серым). Точнее говоря, искомая площадь будет больше первого значения и меньше второго. Вычислим обе эти площади с учетом того, что основания всех прямоугольников одинаковы и равны 1/4, отличаются лишь их высоты:
Среднее значение этих площадей равно: S ~= (S1 + Ss)/2 = 0,265625. Найдем более точное значение площади, разбив исходный интервал на большее число частей:
Теперь основания всех прямоугольников равны 1/8. И вновь сумма площадей прямоугольников, выделенных темно-серым (Ss), будет больше искомой площади, которая превышает сумму площадей прямоугольников, выделенных светло-серым (S1).
Их среднее значение равно:
S ~= 0.5·(Ss + S1) = 0,2539…
Если мы продолжим этот процесс и будем последовательно делить интервал [0,1] на все более мелкие части, то в пределе мы разделим его на бесконечное число частей, получим бесконечное число прямоугольников, а сумма их площадей будет равна площади фигуры, заключенной между графиком кривой и осями координат.
Вопрос в том, как вычислить общую площадь бесконечного числа прямоугольников. Произведенные выше расчеты показывают, что искомое значение должно быть близко к 0,25, так как промежуточные результаты равны 0,2656… и 0,2539…
Чтобы получить окончательный ответ, рассмотрим, как мы вычислили два предыдущих значения. Вне зависимости от числа прямоугольников, будь их восемь, сто, тысяча или n, сумма их площадей будет рассчитываться одинаково. Значение площади Ss при разделении интервала [0, 1] на n равных частей будет равно:
Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти значение этого выражения, когда n стремится к бесконечности. Посмотрим, чему равен его числитель, представляющий собой сумму кубов натуральных чисел:
13 = 1
13 + 23 = 9
13 + 23 + 33 = 36
13 + 23 + 33 + 43 = 100
Числитель будет равен 1, 9, 36, 100, … — это квадраты чисел 1, 3, 6, 10, … Может показаться, что суммы кубов натуральных чисел равны квадратам некоторых других чисел. Но каких? Какой ряд образуют числа 1, 3, 6, 10, …? Заметим, что
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Можно сформулировать теорему:
Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы.
Правильность этой теоремы можно подтвердить экспериментально для множества чисел — компьютер справится с этим за несколько мгновений. Однако экспериментальное подтверждение частных результатов и выведение из них какого-то общего принципа (именно так действуют физики и биологи) для математиков неприемлемо. В математике истинность увиденного нужно подтвердить для всех возможных случаев.
Как подтвердить истинность нашей теоремы для всех возможных случаев? Начнем с того, что вычислим сумму первых n натуральных чисел. Для этого применим метод, который использовал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, когда ему не было и десяти лет. Его биографы отмечают, что как-то раз преподаватель, чтобы занять учеников, дал им задание вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100.
Среди учеников был и Гаусс, который, к удивлению учителя, через несколько секунд протянул ему грифельную доску с правильным ответом. Юный Гаусс записал числа в два ряда, один над другим, и вычислил суммы в каждом столбце:
Сумма чисел в нижнем ряду равна 100·101 = 10100, что в два раза больше требуемой суммы. Следовательно, правильный ответ равен
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 10100/2 = 5050.
Применим этот же метод в нашем, более общем случае:
Можно заметить, что формула суммы первых n натуральных чисел такова:
1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1)/2 (*)
Вернемся к нашей теореме и используем эту формулу (**):
Теперь у нас есть две формулы, в которых фигурирует n первых натуральных чисел. Подтвердить правильность этих формул экспериментально на бесконечном множестве чисел невозможно. Нужно найти стратегию, которая позволила бы обойти эту проблему. Математик рассуждает так: «Отлично, дана формула, верная для n-го натурального числа. Так как все натуральные числа получаются прибавлением единицы к предыдущему, то если формула верна для n-го числа, я докажу ее истинность для следующего натурального числа. Если я докажу, что формула, верная для n, верна и для n + 1, то я автоматически докажу ее истинность для всех натуральных чисел».
Именно так мы и поступим. Сначала мы докажем, что если формула (*) верна для n, то она будет верна и для n + 1. Затем проведем аналогичное доказательство для формулы (**). Докажем, что:
Нам всего лишь нужно показать, что разность между двумя выражениями в левой части равенства, равная n + 1, равна разности двух выражений в правой части равенства:
Достаточно найти значение правой части равенства, чтобы убедиться, что это в самом деле так. Аналогично доказывается истинность выражения (**). Теперь мы можем закончить решение нашей задачи о площади:
Последнее преобразование верно потому, что с ростом n значения выражений 1/2n и 1/4n2 становятся все меньше и меньше. В пределе, когда значение n равно бесконечности, значение обоих выражений будет равно 0. Как следствие, площадь фигуры, ограниченной кривой у = х3, равна 1/4 = 0,25.
Наиболее выдающийся результат математического творчества, который мы применили в этом решении, таков: мы вписали в искомую фигуру, площадь которой мы хотим найти, ряд прямоугольников, площадь которых легко вычислить. Чем больше прямоугольников мы впишем в искомую фигуру, тем ближе сумма их площадей будет к площади искомой фигуры. Так как значения площадей прямоугольников в пределе приближаются к конкретному числу и мы можем это доказать, можно найти конкретное значение площади криволинейной фигуры. От геометрического параллелизма мы переходим к числовому и обратно. Мы решили более простую задачу, чем исходная, а затем использовали полученный результат для решения нужной задачи.
