Использование пределов в решении задач — одно из величайших достижений математического творчества всех времен. В конце XVII века Ньютон и Лейбниц использовали это понятие в качестве основы при создании математического анализа. Полтора столетия спустя французский математик Коши и немецкий математик Вейерштрасс уточнили понятие предела для непрерывных функций, подобных той, что мы рассмотрели в предыдущем примере.
Количественная оценка изменений
Создание математического анализа сыграло огромную роль в развитии математики, физики и науки в целом. Как отмечают историки, Ньютон и Лейбниц создали математический анализ независимо друг от друга. По сути, их общим вкладом в науку был ответ на следующий вопрос: как можно количественно измерить мгновенное изменение величины?
Количественная оценка изменения величины между двумя моментами времени не представляет проблемы — достаточно найти разность соответствующих значений. Например, если некоторое явление описывается функцией f(t) = t2, где t обозначает время, выраженное в секундах, величина изменения, произошедшего между моментами времени t = 0 и t = 1,5, будет равна 2,25:
f(1,5) — f(0) = 1,52 — 02 = 2,25.
Однако такой способ оценки изменения не слишком удобен, так как на более коротком интервале, например между t = 4,77 и t = 5, изменение величины будет практически таким же:
f(5) — f(4,77) = 52 — 4,772 ~= 2,25.
Полученная разность не позволяет понять, что же происходит на самом деле.
Мы хотим, чтобы в величине, служащей оценкой изменения, учитывался интервал, на котором происходит изменение. Изменение, произошедшее за очень короткий промежуток времени, более существенно, чем изменение, произошедшее за длительное время. Следовательно, величина изменений должна учитывать время, за которое происходит изменение (это изменение называют «размахом вариации»):
Это уже лучше — размах вариации отражает то, что мы хотели увидеть, так как 9,77 намного больше, чем 1,5. Однако мы хотим определить, как оценить мгновенное изменение величины, а не изменение на интервале. Как дать количественную оценку изменению величины в данный момент времени, например при t = 1 секунде?
Математический подход к решению этой задачи таков: будем вычислять размах вариации для все более мелких интервалов, близких к моменту времени t = 1, и посмотрим, к какому значению будут приближаться результаты.
Очевидно, что полученные числа все больше приближаются к 2. Именно это значение характеризует изменение величины в момент времени t = 1, и его можно назвать мгновенным размахом вариации.
Графически размах вариации соответствует значению тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке, так как тангенс этого угла рассчитывается как отношение разности значений функции на концах интервала к длине этого интервала.
По мере того как значения х1, x2, х3, … приближаются к х, точки Р1, Р2, Р3 … приближаются к Р (см. рисунок ниже). Следовательно, мы поставим в соответствие точке Р тангенс угла наклона касательной, равный значению, к которому стремятся тангенсы этого угла в каждой из предшествующих точек.
Теорема, рождающая чудовищ
Пифагор, известнейший из математиков, создал самую знаменитую математическую теорему. Ее доказательства, предлагаемые в средней школе, совершенно не похожи на вариант, предложенный Евклидом. Он также основан на вычислении площадей, в нем, как и в формулировке самой теоремы, фигурируют площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Однако площади используются только для доказательства. Сама же теорема используется только для вычисления длины.
Как правило, обычно доказывается прямая теорема Пифагора:
если a, b, с — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно, то а2 + Ь2 = с2.
Обратное утверждение практически никогда не доказывается:
если а2 + Ь2 = с2, то а, Ь, с являются катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника соответственно.
Это утверждение имеет огромное практическое значение, так как позволяет строить поверхности, которые будут располагаться друг к другу под прямым углом, например стены здания. Этот же метод использовали египтяне, которым было известно, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 м — прямоугольный. Это соотношение сторон прямоугольного треугольника было известно в самых разных частях света и в разные эпохи, однако используемые значения порой существенно отличались — например, применялись треугольники со сторонами 60 см, 80 см и 1 м.
Задолго до Пифагора, в Древнем Египте и Месопотамии, были известны тройки целых чисел (позднее их стали называть пифагоровыми), в которых квадрат одного числа равнялся сумме квадратов двух других.
Объяснить закономерность, описывающую эти числа, математики того времени не могли. Но можно обнаружить интересные соотношения между числами, например 52 + 122 = 132: если не знать, в чем их причина и каковы их следствия, то подобные соотношения будут всего лишь интересными фактами. Строгое доказательство теоремы Пифагора вызвало первый крупный кризис в математике.
Девизом пифагорейской школы было «все есть число». Пифагорейцы наделяли числа мистическими свойствами и считали, что любые соотношения между вещами описываются соотношениями натуральных чисел. Если применить теорему Пифагора к диагонали квадрата, получим удивительный результат:
Пифагорейцы считали, что длина D (квадратный корень из 2) должна быть соизмерима со стороной квадрата, то есть быть дробным числом. Если бы мы разделили сторону квадрата на достаточно большое число частей, например на миллион, то длина диагонали должна была равняться целому числу частей. Можно ли представить ее как 1414213? Нет, так как квадратный корень из двух нельзя представить в виде частного двух натуральных чисел, и это помешало найти меру, которой можно было бы вычислить и сторону квадрата, и его диагональ.
Теорема породила чудовище, невозможное с общепринятой точки зрения.
Оказалось, что не все соотношения можно свести к отношению двух целых. Нечто столь простое, как диагональ квадрата, оказалось несоизмеримым с его стороной.
Так появились несоизмеримые величины. В то время математики не обладали достаточными знаниями, чтобы доказать, что длина окружности также несоизмерима с ее диаметром, то есть что число π несоизмеримо с дробными числами.
Рассмотрим, почему квадратный корень из 2 нельзя представить как частное двух натуральных чисел. Всякое натуральное число n можно представить в виде произведения простых множителей. Пример:
12 = 22·3;
315 = 32·3·7.
Заметим, что при возведении числа в квадрат все простые множители в его разложении будут встречаться четное число раз:
122 = (22·3)2 = 24·32;
3152 = (З2·5 ·7)2 = З4·52·72.
Если частное двух натуральных чисел m и n равно квадратному корню из двух, то
Теперь разложение на простые множители для m2 и для m2 содержит четное число простых множителей. По этой причине, вне зависимости от того, присутствует ли 2 в разложении n2 на множители, 2 будет фигурировать в разложении 2n2 нечетное число раз. Если разложение n2 на множители не содержит 2, то разложение 2n2 будет содержать одну двойку; если же в разложении n2 содержится несколько двоек, их число будет четным, следовательно, в разложении 2n2 двойка встретится нечетное число раз. Поэтому m2 и n2 не могут быть равны, так как в разложении одного из этих чисел 2 встретится четное число раз, а в разложении другого — нечетное число раз. Следовательно, √2 не может быть частным двух натуральных чисел, и диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы.
* * *
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Многочлен — это выражение, в котором присутствует переменная, возведенная в различные степени с натуральным показателем. Числа, на которые умножается переменная в этих степенях, называются коэффициентами. Например, следующий многочлен
