Те, кто полагает, что эти рассуждения более убедительны и их можно с большей уверенностью принять в качестве окончательного доказательства нашей гипотезы, могут посмотреть на них еще раз и убедиться, что они тождественны геометрическим рассуждениям, приведенным выше. Привычное использование n для обозначения любого натурального числа как бы уводит нас в сторону от интуитивно понятного геометрического доказательства, которое раскрывает суть проблемы.
Тот факт, что разность между (n + 2)2 и n2 равна 2n + 1, доказывает истинность гипотезы, а геометрическое доказательство помогает понять это. О подобном говорил Херш: формулу 2 + 2 = 4 можно доказать, применив аксиоматику и правила формальной логики, однако истинная причина убедительности этой формулы в том, что ее можно подтвердить, просто переставляя камни. На следующей схеме вкратце описан путь, по которому мы должны идти в математическом творчестве к его конечной цели — объяснению явлений.
Логика не создает, но накладывает требования
Логика подчиняется аксиомам и правилам, созданным много лет назад. Основой ее является сам образ наших мыслей. Формалисты сводят математику к последовательностям символов, которые подчиняются законам логики. Однако философский взгляд на математику, о котором идет речь на страницах этой книги, состоит в ином.
Да, логика лежит в основе аргументации и проверки математических выводов, однако для совершения открытий одной логики недостаточно. Математическое творчество выходит за рамки логики. Примером этому является теорема:
Всякая степень двойки является четным числом.
Такие утверждения могут быть абсолютно логичными, но не будут содержать ничего нового ввиду своей очевидности. Их нельзя считать продуктом творчества.
Применение правил логики для получения новых истинных высказываний из уже известных — это не творчество. Это может сделать даже компьютер. Творчество подразумевает отбор или поиск значимых результатов. Оно отвечает на вопросы, возникающие в социальном и культурном контексте, который машина не способна учесть. Идеи и теории выдвигают не машины, а люди. Логика подобна сборочному конвейеру, запрограммированному на производство определенной машины. Но математика — нечто большее, чем промышленное производство. Более того, некоторые теоремы, созданные людьми, возможно, никогда не смогла бы получить машина.
Также не стоит забывать о том, что творчество означает ответственность. Всякое творчество имеет свои последствия, как, например, тогда, когда его стимулом является желание сохранить согласованность системы. Именно это произошло с правилом знаков:
— х — = +.
Это правило было установлено для того, чтобы сохранить согласованность умножения для целых отрицательных чисел, и возникло вследствие желания сохранить для таких чисел дистрибутивность умножения. Дистрибутивность операции означает, что для любых трех чисел а, b и с выполняется равенство:
а·(Ь + с) = а·b + а·с.
* * *
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
На множестве С, на котором определены две бинарные операции, обозначаемые знаками + и ·, эти операции обладают следующими свойствами:
• коммутативность: a + b = b + a;
a·b = b·a;
• ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c);
а·(Ь·с) = (а·Ь)·с;
• дистрибутивность операции · относительно +: а·(Ь + с) = a·Ь + а·с.
* * *
Таким образом, желательно, чтобы это равенство выполнялось и для a = —1, b = 1 и с = —1:
— 1·(1–1) = -1·1 + (-1)·(-1) = -1 + (-1)·(-1);
— 1·(1–1) = -1·0 = 0.
Следовательно, должно выполняться равенство
— 1 + (-1)·(-1) = 0 => (-1)·(-1) = + 1.
Математики долгое время не могли понять, что правило знаков наряду с другими определениями, описывающими целые и дробные числа, нельзя доказать. Мы создаем эти правила и определения, чтобы получить свободу действий при соблюдении фундаментальных законов арифметики. Мы соглашаемся с Курантом и Роббинсом, которые утверждают, что единственное, что можно (и следует) доказать, — это то, что эти правила и определения сохраняют свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Поэтому логика приводит к удивительным результатам, с которыми порой непросто согласиться. Принимая правило, согласно которому «минус на минус дает плюс», мы соглашаемся не только с логикой, но и сами с собой, поскольку законы логики являются продуктом нашего мышления. Логичным будет принять последствия нашего решения, даже если они нам не нравятся или кажутся необычными.
Математики, например, могли отвергнуть отрицательные числа и сказать, что они мешают развитию знания. Отрицательные числа можно было счесть признаком безумия и доказательством нелогичности исходных предпосылок. Однако математики взяли на себя ответственность и расширили множество чисел, сохранив его согласованность и продвинув науку вперед.
Курант и Роббинс отдельно подчеркивают творческий аспект этого решения.
Принять необычные выводы, полученные на основе известных свойств и теорем, и ввести новые элементы и понятия — это типичный и распространенный пример математического творчества. Полученные результаты выглядят все более необычными, особенно если они противоречат устоявшимся представлениям или отстоят слишком далеко от элементарной математики, пригодной для того, чтобы считать камни на дне ручья.
Математические переживания
Заниматься математикой означает испытывать математические переживания. Для этого нужно стремиться понимать мир и объяснять его определенным образом, с математической точки зрения, в которой окружающее поддается количественной оценке.
Об этом не говорится в эвристике Пойа, так как математические задачи порой могут выходить за рамки чисто академической среды, к которой принадлежит традиционная эвристика.
Цель математических вопросов, связанных с пережитым или испытанным, как внутри нашей научной и культурной среды, так и вне ее, — понять реальность и социальную, культурную или технологическую среду, в которой мы живем. Этот процесс является в высшей степени творческим, и к этой теме мы вернемся в главе 3.
Глава 2
Большие идеи для решения больших задач
Многие великие математические творения связаны с серьезными изменениями в развитии математики. Иногда очередное открытие или новая теорема помогали решить проблему, а иногда — противоречили общепринятой точке зрения. Некоторые величайшие математические творения стали настоящим вызовом разуму. То, что до определенного момента считалось иррациональным и бессмысленным, начинало использоваться для решения практических задач, чего раньше нельзя было и представить. Наиболее интересным примером, возможно, являются комплексные числа: как квадрат некоторого числа может быть отрицательным числом? И какой смысл имеют подобные числа?
Некоторые исследователи уверены, что математика развивается линейно. Однако эта точка зрения небесспорна. Линейное развитие математики, возможно, является лишь кажущимся, лишь следствием, подобно аксиомам и теоремам, которые представляют собой видимый итог длительных размышлений.
Счет
Счет состоит в определении числа элементов, образующих некоторую группу. Оценить число элементов в малых группах можно на глаз — чтобы увидеть, что группы из двух, трех или четырех элементов отличаются между собой, счета не требуется.
Однако различить группы, состоящие из более чем четырех или пяти элементов, уже не так просто. В этом случае счет необходим.
К первым разновидностям счета относятся попытки сопоставить числа с различными частями человеческого тела. Племена, обитающие на разных материках, использовали и до сих пор используют части тела для определения числа элементов множества (на языке математики это число называется мощностью множества).
Стадо или мешок рисовых зерен — это конечные множества. Натуральные числа также образуют множество, однако оно является бесконечным. Различить два конечных множества нетрудно: достаточно подсчитать число их элементов. Разница между множествами будет заключаться в том, что их мощность будет описываться разными числами. Далее вы увидите, что в случае с бесконечными множествами все обстоит совершенно иначе.
