Эти пояснения дают некоторое представление о том, почему расстояния, измеренные с помощью намотанных и ненамотанных струн, обратно пропорциональны друг другу. Однако, так как данный момент достаточно тонкий, возможно, имеет смысл привести технические подробности для читателя, склонного к математическому образу мышления. В обычной квантовой механике точечных частиц расстояние и импульс (по существу, энергия) связаны преобразованием Фурье. Иными словами, собственный вектор оператора координаты на окружности радиусом R можно определить как , где p = υ/R, а есть собственный вектор оператора импульса (прямой аналог того, что мы называли общей колебательной модой струны — движение без изменения формы). В теории струн, однако, есть ещё один собственный вектор оператора координаты , определяемый состояниями намотанной струны: , где — собственный вектор для намотанной струны с . Из этих определений немедленно следует, что x периодична с периодом 2πR, а периодична с периодом 2π/R, так что x есть координата на окружности радиусом R, а — координата на окружности радиусом 1/R. Более конкретно, можно рассмотреть два волновых пакета и , распространяющихся из начала координат и эволюционирующих во времени, с помощью которых можно дать практическое определение расстояния. Радиус окружности, измеренный с помощью каждого из пакетов, будет пропорционален времени возвращения пакета в исходную точку. Так как состояние с энергией E эволюционирует с фазовым множителем, пропорциональным Et, видно, что время, а, следовательно и радиус, равны t ~ 1/E ~ R для колебательных мод и t ~ 1/E ~ 1/R для топологических мод.
92
Для читателя, сведущего в математике, отметим, что число семейств колебательных мод струны равно половине абсолютного значения эйлеровой характеристики многообразия Калаби–Яу, как указано в примечании {83}. Эта величина равна абсолютному значению разности h2,1 и h1,1, где hp,q обозначает число Ходжа (p,q). С точностью до константы эти значения равны числу нетривиальных гомологий 3-циклов (трёхмерных отверстий) и числу гомологий 2-циклов (двумерных отверстий). Таким образом, хотя в основном содержании говорится о полном числе отверстий, более точный анализ показывает, что число семейств зависит от абсолютного значения разности между числами чётномерных и нечётномерных отверстий. Выводы, однако, те же самые. Например, если два пространства Калаби–Яу отличаются перестановкой соответствующих чисел Ходжа h2,1 и h1,1, то число семейств частиц — полное число отверстий — не изменится.
93
Название объясняется тем, что «ромбы Ходжа», математические выражения чисел отверстий различных размерностей для пространств Калаби–Яу, являются зеркальными отражениями друг друга для каждой зеркальной пары.
94
Термин зеркальная симметрия используется в физике и в других контекстах, совершенно не связанных с данным, например, в связи с понятием киральности, т. е. в связи с вопросом о том, является ли Вселенная инвариантной относительно замены правого на левое (см. примечание {64}).
95
Для читателя, склонного к математической строгости рассуждений, будет понятно, что вопрос состоит в том, является ли топология пространства динамической, т. е. может ли она меняться во времени. Отметим, что хотя представление о динамических изменениях топологии часто используется в этой книге, на практике обычно рассматривается однопараметрическое семейство пространственно-временных многообразий, чья топология меняется при изменении параметра семейства. Формально этот параметр не является временем, но в определённом контексте может с ним отождествляться.
96
Для математически подкованного читателя отметим, что процедура включает сдутие рациональных кривых на многообразии Калаби–Яу. Далее используется тот факт, что при определённых условиях образовавшаяся сингулярность может быть устранена серией последовательных раздутий.
97
K. C. Cole, «New York Times Magazine», October 18, 1987, p. 20.
98
Цитируется по книге: John D. Barrow, «Theories of Everything». New York: Fawcett-Columbine, 1992, p. 13. (В рус. пер. цитата есть в книге: Кузнецов Б. Г. «Эйнштейн: Жизнь. Смерть. Бессмертие». М.: Наука, 1980, с. 363.)
99
Кратко поясним различия между пятью теориями струн. Для этого отметим, что колебательные возбуждения вдоль струнной петли могут распространяться по часовой стрелке и против неё. Теории струн типов IIA и IIB отличаются тем, что в последней теории колебания в обоих направлениях идентичны, а в первой теории противоположны по форме. Противоположность в данном контексте имеет точный математический смысл, но нагляднее всего её можно представлять в терминах вращений колебательных мод в каждой теории. В теории типа IIB оказывается, что все частицы вращаются в одном направлении (у них одна и та же киральность), а в теории типа IIA — в разных направлениях (у них разная киральность). Тем не менее, в каждой теории реализуется суперсимметрия. Две гетеротические теории имеют аналогичные, но более эффектные отличия. Все моды колебаний по часовой стрелке выглядят так же, как и моды струн типа II (если рассматривать только колебания по часовой стрелке, то теории струн типов IIA и IIB идентичны), но колебания против часовой стрелки совпадают с колебаниями исходной теории бозонных струн. Хотя в бозонных струнах возникают неразрешимые проблемы, если рассматривать их колебания в обоих направлениях, в 1985 г. Дэвид Росс, Джеффри Харви, Эмиль Мартинек и Райан Ром (все они в то время работали в Принстонском университете и их прозвали «Принстонский струнный квартет») показали, что при использовании этих струн в комбинации со струнами типа II получается вполне согласованная теория. Однако в этом союзе была странная особенность, известная со времён работ Клода Лавлейса из университета Ратчерса 1971 г. и Ричарда Броуэра из Бостонского университета, Питера Годдарда из Кембриджского университета и Чарльза Торна из Гейнсвилльского университета (штат Флорида) 1972 г. А именно, для бозонной струны требовалось 26 пространственно-временных измерений, а для суперструны, как обсуждалось, требовалось 10. Так что гетеротические струны (от греческого ετερος, т. е. разный) являются странными гибридами, в которых колебательные моды против часовой стрелки живут в 26 измерениях, а колебательные моды по часовой стрелке — в 10! Пока читатель окончательно не запутался, пытаясь понять этот странный союз, сообщим ему о работе Гросса и его коллег, в которой было показано, что 16 лишних бозонных измерений должны скручиваться в одно из двух торообразных многообразий очень специального вида, приводя к теориям O- и E-гетеротических струн. Так как 16 добавочных бозонных измерений компактифицированы, каждая из этих теорий ведёт себя так, как если бы в ней было 10 измерений, т. е. как теории струн типа II. В гетеротических теориях также реализован свой вариант суперсимметрии. И, наконец, теория типа I аналогична теории IIB, за исключением того, что помимо замкнутых струн, рассмотренных в предыдущих главах, в ней имеются струны со свободными концами, называемые открытыми струнами.
100
Понятие «точный» в смысле данной главы (например, «точное» уравнение движения Земли) в действительности относится к точному предсказанию некоторой физической величины в рамках выбранного теоретического формализма. До тех пор, пока у нас не будет истинной окончательной теории (возможно, она уже есть, а возможно, её вообще не будет) все наши теории сами являются приближениями реальности. Но это понятие приближения не имеет никакого отношения к приближениям, рассматриваемым в данной главе. Здесь нас интересует тот факт, что в рамках выбранной теории часто сложно или невозможно сделать точные предсказания. Вместо этого приходится искать эти предсказания с помощью приближённых методов в рамках теории возмущений.
101
Эти диаграммы являются струнными вариантами так называемых диаграмм Фейнмана, предложенных Ричардом Фейнманом для вычислений по теории возмущений в квантовой теории поля точечных частиц.
