Момент инерции
Моме'нт ине'рции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:
где mi — массы точек тела, hi — их расстояния от оси z , r — массовая плотность, V — объём тела. Величина Iz является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение ). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k , называемую радиусом инерции, по формуле Iz = Mk2 , где М — масса тела. Размерность М. и. — L 2 M ; единицы измерения — кг ×м 2 или г ×см 2 .
Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z , проведённых в точке О , называют величины, определяемые равенствами:
или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений Ixz и Iyz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.
М. и. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением
Iz = Iz ' + М d2 (3)
где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).
М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по формуле:
l ol = I x a2 + I y b2 + I z g2 — 2I xy ab — 2I yz bg — 2I zx ga. (4)
Зная шесть величин Ix , Iy , Iz , Ixy , Iyх , Izx , можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых Ixy = Iyz = Izx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.
М. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники.
Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94—101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика .
С. М. Тарг.
Момент количества движения
Моме'нт коли'чества движе'ния, кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения . Как и для момента силы , различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.
Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv . Т. о., k o = [r · mu ], где r — радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О , a kz равняется проекции вектора ko на ось z , проходящую через точку О . Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента mo (F ) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dko /dt = mo (F ). Когда mо (F ) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется площадей закону . Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.
Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. Ko = Skoi , Kz = Skzi . Вектор Ko может быть определён его проекциями Kx , Ky , Kz на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w, K x = — I xz w, K y = —I yz w, K z = I z w, где lz — осевой, а Ixz , lyz — центробежные моменты инерции . Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то Ko = I z w.
Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента Mo e . Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dKo /dt = Mo e . Аналогичным уравнением связаны моменты Kz и Mz e . Если Mo e = 0 или Mz e = 0, то соответственно Ko или Kz будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д. (см. Сохранения законы ). Т. о., внутренние силы не могут изменить М. к. д. системы, но М. к. д. отдельных частей системы или угловые скорости под действием этих сил могут изменяться. Например, у вращающегося вокруг вертикальной оси z фигуриста (или балерины) величина Kz = Iz w будет постоянной, т. к. практически Mz e = 0. Но изменяя движением рук или ног значение момента инерции lz , он может изменять угловую скорость w. Др. примером выполнения закона сохранения М. к. д. служит появление реактивного момента у двигателя с вращающимся валом (ротором). Понятие о М. к. д. широко используется в динамике твёрдого тела, особенно в теории гироскопа.
Размерность М. к. д. — L 2 MT -1 , единицы измерения — кг ×м 2 /сек, г ×см 2 /сек. М. к. д. обладают также электромагнитное, гравитационное и др. физические поля. Большинству элементарных частиц присущ собственный, внутренний М. к. д. — спин . Большое значение М. к. д. имеет в квантовой механике .
Лит . см. при ст. Механика .
С. М. Тарг.
Момент орбитальный
Моме'нт орбита'льный, момент количества движения микрочастицы при её движении в силовом поле, обладающем сферической симметрией. Название «М. о.» связано с наглядным представлением о движении атомного электрона в сферически симметричном поле ядра по определённой замкнутой орбите.
Согласно квантовой механике, М. о. Mi квантован, т. е. его величина, а также проекция на произвольно выбранную в пространстве ось (ось z ) могут принимать лишь определённые дискретные значения:
M l 2 = ћ 2 l (l + 1), Mlz = mћ ,
где ћ — постоянная Планка, l = 0, 1, 2, ... — азимутальное (орбитальное), а m = 1, 1 — I , ..., — I — магнитные квантовые числа . Классификация состояний микрочастиц по значениям l играет большую роль в теории атома и атомного ядра и в теории столкновений.
Лит . см. при статьях Атом , Ядро атомное , Рассеяние микрочастиц , Квантовая механика .
М. А. Ельяшевич.
Момент силы
Моме'нт си'лы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси.
