на каждом обороте (от апоцентра до апоцентра) эллипс разворачивается на 180°. При этом происходит не медленный дрейф оси, как в ранее рассмотренных случаях, а прыжки сразу на полоборота. Так что наши «игры» с законом притяжения имеют смысл: они позволяют моделировать реальное гравитационное поле вблизи массивных, плотных объектов: нейтронных звезд и черных дыр.
А вот теперь я увеличил показатель на целую единицу (m = 3), сделав зависимость еще более жесткой по сравнению с ньютоновой: F ~ 1/R3. Что мы видим: движение становится инфинитным, то есть пространственно неограниченным (рис. 2.11). Конечно, в принципе можно найти для частицы, находящейся на некотором расстоянии от тяготеющего центра, такую скорость, при которой частица пойдет по круговой орбите. Но это движение будет неустойчивым: стоит на какую-то мизерную долю изменить эту скорость, и частица, двигаясь по спирали, либо упадет на центр притяжения, либо навсегда уйдет от него. А в реальности какие-то случайные флуктуации всегда есть. Следовательно, в таком потенциальном поле ни атомов, ни планетных систем существовать не может.
Рис. 2.11. Движение в поле F ~ R–3 принципиально отличается от кеплеровского.
Доказано (это довольно легко сделать), что в законах, описывающих силовые поля, показатель степени m связан с геометрической размерностью физического пространства: он во всех случаях на единицу меньше, чем размерность пространства. Отсюда следует, что из записи фактических законов Кулона и Ньютона мы можем сказать, что наше пространство трехмерное и что четвертого пространственного измерения у нас нет, иначе все давно потеряло бы устойчивость, потому что атомы развалились бы.
Орбитальные параметры
Когда небесные механики интересуются движением тел, они используют специальную систему координат. В принципе, можно было бы ничего не изобретать и взять декартовы координаты. Что нам нужно задать для частицы, чтобы потом рассчитывать движение по орбите? Начальное пространственное положение частицы и ее начальную скорость. Это векторные величины в пространстве, т. е. каждая их них имеет три компонента. Итого шесть чисел полностью описывают состояние частицы в пространстве. Больше ничего не требуется, у нас есть формула для вычисления гравитационной силы, действующей на небесное тело, и законы механики позволяют нам рассчитать, как она будет двигаться, т. е. положение и скорость в любой момент времени.
Но реально для небесной механики такой подход чаще всего не реализуется: он слишком сложен. Ведь если у нас есть только один тяготеющий центр, то любая отпущенная на свободу частица, какую бы скорость мы ей первоначально ни задали, под действием гравитации будет летать в плоскости и никуда из этой плоскости не выйдет. Иными словами, у любой частицы есть своя орбитальная плоскость. Вот с ней и любят работать небесные механики, потому что она сразу уменьшает количество пространственных измерений. По крайней мере на одно: если мы знаем, что тело движется в плоскости, то перпендикулярную ей компоненту скорости и расстояние можно отбросить. А чем меньше уравнений, тем легче решать.
Но надо задать, как орбитальная плоскость рассматриваемого объекта располагается в пространстве (рис. 2.12). Для этого, естественно, сначала выбирается базовая координатная плоскость, от которой ведется отсчет (обычно это плоскость эклиптики Солнечной системы). Чтобы описать, как в пространстве располагается орбитальная плоскость относительно базовой, надо определить угол, под которым они пересекаются. Этот угол называется наклонением.
Рис 2.12. Элементы орбиты: ☊ и ☋ — восходящий и нисходящий узлы орбиты; i — наклонение; Ω — долгота восходящего узла (из южного полушария в северное); ω — угловое расстояние от восходящего узла до перицентра.
Важно не запутаться в терминах, потому что астрономы употребляют два похожих слова: «наклонение» и «наклон», которые означают вовсе не одно и то же. В отличие от наклонения, наклоном называют угол между осью собственного вращения планеты и перпендикуляром к ее орбитальной плоскости (например, наклон земной оси равен 23,4°). Пересечение орбитальной и базовой плоскостей называется линией узлов. Эта прямая проходит через два узла: восходящий и нисходящий. Восходящий узел — точка, где планета из южной полусферы неба переходит в северную, а нисходящий — где планета «ныряет» из северного полушария в южное. Обозначаются они соответственно символами ☊ и ☋.
Второй параметр, который надо указать для небесных координат, определяет ориентацию линии узлов в пространстве. Базовое направление мы можем задать на точку весеннего равноденствия, Солнце проходит через нее каждый год. Угол Ω между линией узлов и базовым направлением называется долготой восходящего узла.
Итак, орбитальную плоскость, наклонение и ориентацию мы определили. Теперь надо определить характер движения планеты в этой плоскости. В простейшем случае, когда система состоит из одной звезды и одной планеты, она движется по эллипсу, а у эллипса есть лишь две характеристики: размер и форма. Размер — это длина большой оси, а форму можно определить через параметр эксцентриситет.
Четыре параметра у нас есть — вроде бы достаточно? Ан нет! Как ориентирован в орбитальной плоскости сам эллипс? Надо указать угол его ориентации — например, между линией узлов и направлением на перицентр Π (точку орбиты, ближайшую к центру притяжения).
Итак, пять параметров указали; можем ли мы наконец произвести расчет движения планеты в будущее и в прошлое? Нет, нам надо знать, где планета на этом эллипсе находится в начальный момент времени, чтобы начать вычисления. Например, можно задать момент времени, когда она проходит через перицентр, апоцентр или какую-то другую определяемую точку, — это уже шестой параметр.
Таким образом, шесть величин задают полный набор начальных условий, ровно столько их было и в декартовых координатах. Но параметры в небесных координатах позволяют проще решать задачу, это можно сделать даже аналитически.
Как летают спутники
Если нам надо рассматривать движение искусственных спутников Земли, то определять базовую плоскость через эклиптику, т. е. брать в качестве базовой плоскость орбиты нашей планеты, особого смысла нет. Ведь спутники всегда летают не очень далеко от Земли, им нет никакого дела до того, как она сама движется вокруг Солнца. Поэтому наклонение плоскости орбиты спутников обычно отсчитывают от земного (он же — небесный) экватора (рис. 2.13). Плоскость земного
