Рис. 3.11. Изменение взаимного расположения компонентов двойной звезды Крюгер 60 (вверху слева) с 1908 по 1920 гг. Фото: Йерксская обсерватория, США.
Наблюдая двойную звезду (рис. 3.11) в течение 12 лет: 1908, 1915, 1920 гг., — мы видим, как происходит орбитальное обращение: оба компонента движутся относительно друг друга.
Рис. 3.12. Движение компонентов двойной звезды; невидимый центр масс отмечен крестом.
Астрономы всегда измеряют положения близких друг к другу звезд не в какой-то единой системе координат, а просто друг относительно друга — так получается проще и точнее. Навели телескоп на одну звезду, более яркую, теперь она у нас всегда в центре отсчета (в начале координат), а вторая кружится по орбите (рис. 3.12). Но на самом-то деле они обе «бегают» вокруг общего центра масс, который невидим и поэтому навестись на него невозможно. Значит, нам надо модифицировать уравнения небесной механики, из инерциальной системы отсчета перевести в неинерциальную, связанную с одним массивным компонентом. Взяли выражения для векторов обеих скоростей и нашли их разницу, т. е. относительную скорость, — и оказалось, что она точно так же зависит от всех параметров, как и в законе Ньютона: обратно пропорциональна квадрату расстояния, только теперь в качестве параметра массы фигурирует сумма масс этих двух объектов:
Рис. 3.13. Характеристики движения двойных звезд. θ — позиционный угол; ρ — разделение (расстояние). Вверху слева — относительная орбита одной из звезд двойной системы Альфа Кентавра в системе отсчёта другой звезды.
Таким образом, при переносе системы координат в одно из тел гравитационно связанной пары все законы небесной механики сохраняются и прекрасно работают, но только при допущении, что в этом теле сосредоточена суммарная масса обоих тел, и именно эту суммарную величину мы из наблюдений можем рассчитать по форме относительной орбиты. Это не очень удобно: хотелось бы «взвесить» каждое из тел пары отдельно от другого. Редко, но иногда это можно сделать, если удается проследить, как каждое из них выписывает свою траекторию на небе. Например, известная звезда Сириус — тоже двойная, у нее есть яркий компонент (Сириус А) и тусклый спутник (Сириус B). Астрономы отследили на небе их траектории относительно центра масс, который движется практически по прямой. По соотношению расстояний звезд от центра масс нетрудно вычислить, что меньший компонент Сириуса вдвое легче более массивного.
Рис. 3.14. Движение тела m2 относительно m1 в неинерциальной системе отсчета происходит так же, как в инерциальной, при условии, что поле создает неподвижное тело M = m1 + m2.
Рис. 3.15. Траектории движения обоих компонентов звезды Сириус на небосклоне.
Вот еще интересная проблема для размышления и хорошая задачка для физиков: представим, что в Солнечной системе вдруг пропал центральный объект, Солнце. Убежать оно, конечно, не может, поэтому предположим, что оно взорвалось (вообще-то взрыв Солнца маловероятен, но отнюдь не исключен) и моментально раскидало свою массу во все стороны далеко-далеко. Вопрос: а сохранится ли Солнечная система? Или планеты разлетятся на все четыре стороны?
Рис. 3.16. Третий закон Кеплера связывает относительный орбитальный период обращения планет с относительным расстоянием до центра притяжения.
Небесная троица
До этого мы говорили только про два взаимодействующих тела, а теперь перешли к более сложной проблеме: три тела. Ну и, казалось бы, что тут такого особенного, что может измениться? Но небесные механики несколько столетий работали над тем, чтобы создать аналитическую теорию движения трех тел… Работали-работали — и доказали, что это невозможно. Аналитическая теория — это комплекс уравнений, в которые вы подставляете свои параметры и момент времени, какой вас интересует, и вычисления по ним выдают вам координаты, где ваши тела находятся и с какими скоростями они движутся.
Рис. 3.17. Существуют стационарные орбиты, по которым три тела разной массы могут двигаться бесконечно долго вокруг общего центра масс.
Но нашелся человек, Карл Зундман, который создал-таки эту теорию. Казалось бы, ура — Нобелевскую премию ему надо дать! Однако не дали, и вот почему. Он записал эти уравнения в виде бесконечных рядов, которые сходятся так медленно, что для того, чтобы рассчитать положения Луны, Земли и Солнца хотя бы на год вперед, надо просуммировать 108000000 членов. Представьте, что это за фантастическое число: всем компьютерам мира не под силу обработать такое количество данных, потому что в доступной нашему наблюдению Вселенной примерно 1088 протонов, а здесь в показателе степени миллионы! Так что хоть теория и есть, пользоваться ею совершенно невозможно.
Рис. 3.18. Движение трех тел одинаковой массы по единой «хореографической» орбите (слева). Но это движение неустойчиво, что демонстрирует результат численного расчета (справа).
Вообще-то можно найти конфигурации из трех тел, эволюцию которых можно предсказать: например, создать искусственно троицу, которая совершает периодическое движение (рис. 3.17, 3.18). И тогда посмотрел на один период — и потом копируй его на бесконечное количество последующих периодов. Недавно придумали очень изящную конфигурацию из трех тел одинаковой массы, которые будут летать друг за другом по «восьмерке» (рис. 3.18). Формально во всех этих случаях тела будут бесконечно долго повторять свой циклический путь, но движение это очень неустойчиво: стоит чуть-чуть, на мизерную величину, его нарушить — и система начнет разбалтываться и придет к хаотическому состоянию. Даже ошибки компьютерного счета приводят к тому, что траектории начинают расходиться и через несколько периодов обращения система рассыпается. А устойчивого периодического движения тел, количество которых больше двух, не бывает.
Рис. 3.19. Периодическое движение тел количеством больше двух (Alain Chenciner, 2007). Движение системы трех и более тел сравнимой массы в собственном гравитационном поле всегда неустойчиво: малейшее возмущение приводит к неограниченному разбалтыванию системы.
В общем случае реализуется такая ситуация: берем
