любителя – Роберта Амманна. Именно тогда мы впервые услышали имя этого загадочного гения, который мало с кем общался, кроме гуру развлекательной математики Мартина Гарднера из Scientific American, к кому Маккей и посоветовал нам обратиться за помощью.
Дов немедленно написал Гарднеру, а тот, в свою очередь, отправил нас к Бранко Грюнбауму и Джеффри Шепарду, которые как раз готовили к выпуску книгу о замощениях, куда вошли некоторые из гениальных изобретений Амманна. От них мы узнали, что Амманн независимо изобрел ромбоидные плитки, похожие на открытые Пенроузом, с правилами совмещения, вынуждающими к образованию симметрии пятого порядка. Что еще поразительнее, он также изобрел другой набор плиток с правилами совмещения, вынуждающими к столь же невозможной симметрии восьмого порядка.
У Амманна не было математического образования, поэтому он не предоставил никаких доказательств того, что его правила совмещения работают, и даже не описал свои результаты в научной статье. Он просто интуитивно знал, что прав.
Гарднер также предоставил нам заметки Амманна, в которых подробно излагались его соображения о строительных блоках с икосаэдрической симметрией. Но и тут не было ни строгих доказательств, ни даже попыток привести убедительные аргументы.
Несколько лет спустя мы с Довом смогли разыскать неуловимого гения в окрестностях Бостона и уговорили его приехать к нам в Филадельфию. Амманн оказался именно таким, каким я его себе и представлял. Он был полон творческих геометрических идей и захватывающих предположений, которые никогда не публиковались, но очень часто оказывались верными. Некоторые из них, как, например, идея ромбоэдров, впервые появившаяся на иллюстрации Маккея, были открыты независимо нами с Довом ценой тяжелого труда и утомительного поиска доказательств. Для Амманна все это было попросту интуитивно очевидно. К сожалению, несколько лет спустя его не стало, так что нам с Довом не довелось больше с ним увидеться.
Самым важным его изобретением, на наш с Довом взгляд, было введение названных его именем полос Амманна – могучего и действенного правила совмещения. На широких и узких ромбах с прямыми сторонами Амманн рисовал набор полосок в соответствии со строгим рецептом, проиллюстрированным пунктирными линиями на рисунке вверху.
Правило совмещения Амманна состоит в том, что две плитки можно соединять между собой только в том случае, если на всех краях, которыми они стыкуются, нанесенные на них полосы продолжают друг друга. Это накладывает того же типа ограничения, что и пенроузовские ленты и замки. Так что на первый взгляд тут нет ничего примечательного.
Однако при более внимательном анализе становится ясно, что полосы Амманна все меняют. Мы с Довом обнаружили, что они выявляют в замощениях Пенроуза нечто такое, чего сам Пенроуз не заметил. И именно это забросило нас с Довом в странный новый мир невозможных симметрий.
Мы видели, что при стыковке плиток в соответствии с правилом совмещения отдельные полосы Амманна соединяются и образуют прямые линии Амманна, которые тянутся через все замощение. Ниже изображено замощение, поверх которого наложена система линий Амманна. Этот массив состоит из пяти наборов параллельных линий, ориентированных под разными углами.
Мы с Довом обнаружили, что все эти пять наборов прямых одинаковы и повернуты друг к другу под такими же в точности углами, как стороны правильного пятиугольника. Нельзя было и представить себе более простого доказательства наличия у данного замощения симметрии пятого порядка.
Для нас с Довом это был поистине захватывающий момент. Теперь мы точно знали, что находимся на пути к открытию, которое прямо противоречит столетним теоремам Гаюи и Браве. Мы были уверены, что линии Амманна таят в себе ключ к обходу этих надежно доказанных теорем и к объяснению секрета симметрии замощений Пенроуза. Но нам еще только предстояло расшифровать их смысл.
Важнее всего оказалось сосредоточиться лишь на одном из пяти наборов прямых линий, например на том, который выделен на рисунке справа. Видно, что просветы между этими параллельными линиями Амманна бывают двух размеров – широкие (W) и узкие (N). Для нас самыми важными были две величины: отношение между ширинами этих двух типов просветов и частота, с которой они повторяются на рисунке. Мы были на пороге открытия того, что эти две величины – отношение и последовательность – связаны с двумя знаменитыми математическими понятиями: золотым сечением и числами Фибоначчи.
Золотое сечение часто обнаруживается в природе и с древних времен встречается в искусстве. Считается, что египтяне руководствовались им при строительстве великих пирамид. В V веке до нашей эры греческий скульптор и математик Фидий утверждал, что применял золотое сечение при создании Парфенона в Афинах, который сегодня считается величайшим памятником греческой цивилизации. В память о Фидии это отношение часто обозначают греческой буквой Φ (произносится как “фи”).
Греческому математику Евклиду, которого считают отцом геометрии, принадлежит самое раннее сохранившееся определение золотого сечения с использованием простых объектов. Он рассматривал способы разделить палку на две части таким образом, чтобы соотношение короткого и длинного кусков было равно соотношению длинного и их суммарной длины. Найденное Евклидом решение состоит в том, что более длинный кусок должен быть ровно в Φ раз больше короткого, где Φ равно
и выражается бесконечной неповторяющейся последовательностью десятичных цифр.
Числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными, поскольку их нельзя выразить отношением двух целых чисел. Это отличает их от рациональных чисел, таких как 1/3 или 143/548, которые представляют собой отношения целых чисел и в десятичной форме записываются как 0,333… и 0,26094890510948905109… соответственно, то есть содержат периодически повторяющиеся последовательности цифр, если вычислить достаточное их количество.
Впрочем, появление золотого сечения в симметрии пятого порядка в замощении Пенроуза не то чтобы сильно поразило нас с Довом, поскольку это соотношение напрямую связано с геометрией пятиугольника. Например, на левом рисунке внизу отношение длины верхнего отрезка, соединяющего противоположные вершины пятиугольника, к длине одной из его сторон равно золотому сечению. Икосаэдр, изображенный справа, также заключает в себе золотое сечение: его двенадцать вершин образуют три взаимно перпендикулярных прямоугольника, у каждого из которых отношение длины к ширине равно золотому сечению.
По-настоящему удивило нас с Довом то, что мы обнаружили золотое сечение также и в чередовании широких (W) и узких (N) просветов.
Рассмотрим последовательность просветов W и N на рисунке со страницы 71. В ней нет никакого регулярного повторения. Если вы станете подсчитывать количество W и N, следя за соотношением этих чисел, то после учета первых трех просветов получите отношение 2 к 1, после первых пяти – 3 к 2, после первых восьми – 5 к 3 и так далее.
Есть простое арифметическое правило, которое порождает эту последовательность. Возьмем первое отношение – 2 к 1. Сложим эти два числа (2 + 1
