другом способом, эквивалентным змеям и дротикам. Версия, которую нам с Довом оказалось проще анализировать, состояла из пары ромбов – широкого и узкого. Именно эти четырехугольники были использованы для создания замощения, изображенного на следующей странице.
Из одних только широких ромбов можно сложить периодический узор, равно как и из одних только узких. Также из различных комбинаций этих двух фигур можно получить другие периодические замощения.
Однако использование ромбов – это еще не все. Чтобы полностью исключить возникновение периодичности, необходимо ввести некие правила совмещения. Один из возможных подходов состоит в том, чтобы использовать ленты по аналогии с теми, что придумал Пенроуз для своих змеев и дротиков, и установить правило, гласящее, что две плитки могут соединяться, только если на ребре, по которому они граничат, состыковываются их ленты.
Другой способ воспрепятствовать появлению обычного периодического рисунка состоит в замене прямых краев плиток кривыми или имеющими специальные выступы, подобно деталям пазла, – это отлично иллюстрирует замечательный пример паркета из индивидуальных деталей, изображенный справа. В смысле взаимного расположения плиток этот деревянный паркет эквивалентен замощению из серых и белых ромбов. Единственное отличие состоит в том, что на деревянные плитки добавлены замки́. Они позволяют деталям соединяться друг с другом, как в пазле, и исключают возможность выложить ими какой-либо периодический узор.
Если вы впервые видите замощение Пенроуза, уделите немного времени его изучению и оцените свое первое впечатление. Как бы вы могли его охарактеризовать? Видите ли вы в нем упорядоченный или неупорядоченный узор? Если вам кажется, что плитки следуют друг за другом в упорядоченной последовательности, то как предсказать, какая плитка окажется следующей?
Глядя на замощение из широких серых и узких белых ромбов, мы с Довом заметили определенные часто повторяющиеся мотивы, такие как звездообразные кластеры из пяти серых плиток, окружающих центральную точку, – чего трудно было бы ожидать для случайного узора. Но мы также заметили, что эти кластеры не повторяются через равные интервалы, как должно быть в периодическом рисунке. И в то же время расстояния между этими повторениями не выглядели произвольными, что было бы ожидаемо при случайном узоре.
Сравнивая конфигурации плиток, которые непосредственно окружают звездообразные кластеры, мы заметили, что не у всех звезд окружение совпадает. На следующем слое окружающих плиток мы обнаружили еще больше различий. Изучив рисунок на странице 58, вы сами можете их заметить. На самом деле ни у какой пары звезд не будет в точности одинакового окружения, если смотреть достаточно далеко от их центров.
Это было важно, поскольку, как мы с Довом знали, в периодических узорах такого не бывает. Каждая плитка в замощении квадратами всегда имеет в точности такое же окружение, как и любая другая, как бы далеко от центра построения мы ни заглядывали.
Этим простым наблюдением мы подтвердили, что узор Пенроуза не может быть периодическим. И все же узор, состоящий из кластеров, которые очень похожи между собой и часто повторяются в замощении, нельзя считать и случайным. Это привело нас к вопросу: что за узор может быть одновременно и не периодическим, и не случайным?
Готового ответа не было, и это меня по-настоящему заинтриговало. Никто не видел ничего подобного узору Пенроуза до того, как он придумал его в 1974 году. Даже сам Пенроуз, похоже, не в полной мере оценил значимость собственного открытия. В своей первой статье Пенроуз описывает узор как “непериодический”, четко показывая, чем его замощение не является. Но там нет ни слова о том, каким же оно на самом деле является. А для нас с Довом это было крайне принципиально.
Когда мы только начали изучать замощение Пенроуза, мы представляли себе, что сможем сконструировать аналогичный трехмерный узор, используя пару строительных блоков. Затем, заменив строительные блоки каждый формы определенным типом атомов или кластером атомов, мы надеялись построить атомную структуру, которая реализовала бы нашу мечту о новом типе вещества.
Однако прежде всего нам следовало убедиться в том, что новая атомная структура действительно является новой, и выделить ее особые физические свойства, а для этого требовалось определить ее симметрии. Просто описать новое вещество как непериодическое или неслучайное было недостаточно. Поэтому следующие несколько месяцев мы полностью посвятили замощению Пенроуза, чтобы понять, сможем ли мы открыть математический секрет его симметрий.
Первое удивительное свойство замощений Пенроуза, которое установили мы с Довом, состояло в том, что в них в слабой форме проявляется вращательная симметрия пятого порядка, которая, конечно, считалась невозможной.
Чтобы увидеть в замощении Пенроуза симметрию пятого порядка, требуется некоторое усилие. Вернемся к рисунку на странице 58 с замощением, составленным из широких серых и узких белых ромбических плиток. Уделите немного времени изучению плиток, которые непосредственно окружают любой из звездчатых кластеров. Их расположение представляется весьма сложным. Мысленно поверните его на одну пятую оборота, или на 72°. Совпадет ли конфигурация с той, что была вначале?
Если вы попробуете выполнить этот эксперимент, то обнаружите, что верным ответом будет “по-разному”. Для некоторых звезд ответ – твердое “нет”. Отбросьте их и выберите другие. Продолжайте, пока не найдете такой звездчатый кластер, для которого ответ будет “да”. Долго искать вам не придется.
Теперь рассмотрите второй слой плиток, окружающих выбранный вами звездчатый кластер. Повторите вращение на 72°, одну пятую часть полного оборота, и проверьте, выглядит ли эта конфигурация плиток, которая простирается теперь на два слоя от исходного звездчатого кластера, так же, как исходная.
И вновь для некоторых звезд ответом будет “нет”. Опять же проигнорируйте их и продолжайте поиск, пока не найдете один из тех более редких звездчатых кластеров, для которого ответом будет “да”. Теперь повторите этот процесс еще раз для этого подмножества, перейдя к трем слоям. И так далее.
Проверяя все больше и больше слоев, вы будете отбрасывать все больше и больше звездчатых кластеров, но обнаружите, что всегда остаются некоторые кластеры, сохраняющие симметрию пятого порядка. Эта процедура намного более трудоемкая, чем та, что требуется для проверки симметрии периодического замощения, но этого достаточно для доказательства того, что замощение Пенроуза обладает вращательной симметрией пятого порядка.
С использованием более сложных математических методов можно показать, что формально замощение Пенроуза обладает более чем пятым порядком симметрии. В действительности оно имеет симметрию десятого порядка. Но для нас с Довом разница между пятым и десятым порядком симметрии была неважна. В любом случае эта симметрия была строго запрещена математикой замощений и известными законами кристаллографии.
Отсюда вытекало лишь одно: в основании этих законов лежало ошибочное допущение, и на протяжении более чем двух столетий никто этого не замечал. Существовала некая лазейка. Едва осознав это, мы с Довом загорелись этой темой. Мы просто обязаны были найти эту лазейку.
Мы уже знали
