31 метру, а это дает допустимый диапазон для византийского фута, если размер квадрата действительно был 100 на 100 футов. Однако если длина стороны квадрата составляет приятные 100 футов, то длина его диагонали – расстояния от одного угла квадрата до противоположного ему угла – покажет, что половина этого квадрата представляет собой увеличенную вариацию треугольника, который так досаждал пифагорейцам. Иными словами, придется смириться с тем, что диагональ такого квадрата кратна квадратному корню из 2. В результате диаметр купола, стоящего на этом основании, как в Софийском соборе, может оказаться равен 141,421356237… фута. У византийцев не было ни одного маркшейдерского инструмента, который позволил бы оперировать таким числом.
Давайте поставим себя на место Герона и приступим к расчетам параметров круга. Если мы хотим облегчить себе жизнь, будет гораздо логичнее приравнять диагональ, а следовательно, и диаметр купола к 140 футам. Число 140 делится на 7 и потому совместимо с примерным значением π, которое составляет 22/7.
Коль скоро диагональ должна была равняться 140 футам, Исидор и Анфимий должны были сообщить прорабу требуемую длину сторон квадрата, после чего тот смог бы приступить к строительству. Вероятно, для этого они применили пифагорейскую хитрость, называемую последовательностью длин сторон и диагоналей и дающую нам приблизительное значение √2.
Сначала возьмем квадрат со стороной 1 и условимся, что его диагональ равна 1. Разумеется, это очень грубая оценка. Чтобы уточнить ее, берем квадрат побольше и приблизительно оцениваем длину его диагонали. Сторона каждого следующего квадрата в последовательности равна сумме стороны и диагонали предыдущего квадрата (в этом случае – 2). Чтобы получить следующую диагональ, нужно прибавить предыдущую диагональ к предыдущей стороне, умноженной на 2 (получим 3).
Представьте отношение этой следующей диагонали к следующей стороне в виде дроби, и получится 3/2, или 1,5, что уже немного ближе к √2. По мере увеличения квадратов вы получите 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 и так далее, и эти числа будут постепенно становиться все ближе к точному значению √2. Например, 99/70 – это 1,41428…, и это весьма неплохо (как мы помним, √2 равен 1,41421…).
Далее Исидору и Анфимию предстояло выбрать из этих дробей ту, с которой легче всего было бы работать и им самим, и их прорабу. Так у них появилась S, длина стороны квадрата с известной им диагональю. Этот треугольник подобен тому, стороны которого равны 1, 1 и 2, следовательно, 1 относится к 2 так же, как S относится к 140. Заменим 2 на 99/70 и получим равенство:
Решив его по правилу трех, мы получим значение S чуть меньше 99. В наших обстоятельствах длину стороны вполне можно округлить до 99 футов, и строителям Софийского собора не составит труда разметить соответствующий квадрат. Поскольку диагональ квадрата, на котором покоится купол, кратна π, возвести купол будет относительно просто.
Возможно, Исидору и Анфимию даже не пришлось производить все описанные расчеты. Вероятно, Герон просто составил таблицы, в которых можно было по диаметру купола узнать размеры остальных его элементов. Ни одна из них не сохранилась, но до нас дошли его книги, в которых он приводит подобные таблицы для других целей. Кроме того, он создавал чертежи в помощь архитекторам, и эти чертежи подозрительно напоминают купол и некоторые своды Софийского собора.
Скорее всего, Исидор и Анфимий пользовались его приемами. До нас дошло несколько текстов, в которых упоминаются (к несчастью, утраченные) комментарии Исидора к расчетам Герона о проектировании и строительстве сводов. Не стоит также забывать, что Герон гордо стоял на плечах других математиков, в частности Архимеда, ведь в мире существует и множество других примеров того, как на практике применялись древние геометрические пропорции. При постройке Даремского собора на северо-востоке Англии явно учитывалось примерное отношение стороны квадрата к его диагонали. Инженеры, проектировавшие Миланский собор в конце XIV века, обратились за помощью к математику Габриэлю Сторнолоко, чтобы обсудить, какой должна быть постройка – ad quadratic или ad triangulum, – то есть что предпочтительнее положить в ее основу, отношение диагонали к квадрату или отношение высоты к стороне равностороннего треугольника[52]. Сторнолоко выбрал треугольники – в сочетании с квадратами, прямоугольниками и шестиугольниками. Ученые не сходятся во мнении относительно того, как именно он вычислил отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне, которое равно √3/2:1. Как и при постройке Софийского собора, ни один каменщик не смог бы произвести необходимые расчеты, но складывается впечатление, что Сторнолоко дал ремесленникам всего три конкретных размера: ширину нефа и четырех приделов; высоту треугольника, указывающего на высшую точку свода нефа; а также расстояние между осями опор нефа – и отношение 26/30. В других средневековых европейских постройках, например в соборах в Реймсе, Праге и Нюрнберге, использовалось отношение стороны к диагонали правильного пятиугольника[53], а значит, применялись известные приблизительные значения числа (√5 + 1)/2. Вот так просто все и делалось, зачем изобретать велосипед? В конце концов, когда основные расчеты произведены, остальное труда не представляет.
Луч света
Софийский собор – признанное чудо древнего мира, одна из множества архитектурных жемчужин, построенных в незапамятные времена. Почему же картины, которые принято считать мировыми шедеврами, начали появляться лишь тысячу лет спустя, в XV и XVI веках? И почему эта революция в живописи совпала с покорением океанов и составлением европейцами первых карт мира? Случайно ли так произошло? Нет. И живописи, и картографии пошло на пользу возрождение математических знаний, утраченных за столетия религиозных войн.
В начале VII века исламские народы начали покорение Западной Азии и Северной Африки. К концу столетия они даже вторглись в Европу и обосновались в Испании и на Балканах. Но в XI веке терпение христиан лопнуло. Теперь им даже не позволялось посещать Иерусалим, святой город. В ответ на это в 1095 году папа Урбан II объявил Первый крестовый поход. За ним последовало еще семь походов, растянувшихся на двести лет, впрочем, назвать их успешными сложно. Контроль над Иерусалимом и окрестными землями оставался в руках у мусульман. В такой отчаянной ситуации вселяющие надежду истории о пресвитере Иоанне производили на европейцев особенно сильное впечатление. В итоге они не только подтолкнули развитие навигации на базе тригонометрии, но и позволили искусству вступить в золотой век.
В 1260-х годах английский монах-францисканец Роджер Бэкон обратился к христианам, надеясь призвать их к оружию[54]. Он предложил им отвоевать Иерусалим, обратившись к своим познаниям в геометрии. Например, можно было воскресить легендарные “горящие зеркала” древнего мира. По легенде, Архимед с помощью огромных вогнутых зеркал направил
