по решению простых алгебраических уравнений, таких как
ax2 +
bx =
c, и геометрические методы решения 14 разных типов “кубических” уравнений (где
x возведен в третью степень).
Кстати, на тот момент в сочинениях аль-Хорезми еще не было ни переменных, ни степеней, ни уравнений как таковых. Изначально алгебра была “риторической” наукой, где задачи и их решения описывались хитросплетениями слов. Неизвестная величина обычно называлась cossa, или “вещь”, и потому алгебру нередко именовали “коссическим искусством”. Первые приверженцы этого искусства решали задачи такого типа:
Двое мужчин вели волов по дороге, и первый сказал второму: “Дай мне двух волов, и тогда у меня будет столько же волов, сколько у тебя”. Потом второй сказал: “Теперь ты дай мне двух волов, и тогда у меня волов будет вдвое больше, чем у тебя”. Сколько волов было всего и сколько их было у каждого из мужчин?
У меня есть кусок льняной ткани 60 футов длиной и 40 футов шириной. Я хочу разрезать его на меньшие фрагменты, по 6 футов в длину и 4 фута в ширину, чтобы каждого отреза хватило на пошив туники. Сколько туник получится из большого куска?
Около 800 года эти примеры собрал и опубликовал в сборнике “Задачи для развития молодого ума” Алкуин из Йорка[66]. Они не слишком отличаются от задач, которые мы решали на школьных уроках математики[67]. У нас, однако, было преимущество, ведь мы могли превратить их в уравнения, и теперь, прежде чем погружаться в глубины алгебры, нам стоит сделать паузу и осознать, как сильно это облегчало нам жизнь.
Идея отказаться от слов в алгебре появилась лишь в XVI веке. Она пришла в голову французскому чиновнику Франсуа Виету. Получив юридическое образование, Виет на протяжении большей части жизни служил при французском королевском дворе, всячески помогая монархам. Он занимал административный пост в Бретани, был тайным советником короля Генриха III и занимался дешифровкой писем при Генрихе IV. Его звездный час, пожалуй, настал тогда, когда король Испании обвинил французский двор в использовании черной магии. Как иначе, жаловался он папе римскому, Франция могла заранее узнать о военных планах Испании? Но здесь, конечно, обошлось без колдовства. Виет просто оказался умнее испанских шифровальщиков и смог прочесть их переписку, перехваченную французскими военными.
Возможно, именно такая гибкость ума и позволила Виету разглядеть, что риторическая алгебра станет проще, если ввести в нее символы. В своей алгебре он согласными обозначал известные величины, а гласными – неизвестные. У него получалось примерно так:
A cubus + B quad. in A, æquetur B quad. in Z,
а сегодня мы написали бы:
А3 + B2A = B2Z
Его запись, признаться, тоже не была простой, но для начала и это было неплохо. Любопытно, что он использовал знак плюса (и знак минуса в других формулах), но знака равенства еще не ставил. Знак равенства в 1557 году ввел в обиход валлийский математик Роберт Рекорд, который предложил его в книге с забавным названием “Оселок остроумия, являющийся второй частью арифметики и содержащий извлечение корней, коссическую практику с правилом составления уравнений, а также иррациональные числа”.
Раз уж мы коснулись вопроса об алгебраической записи, стоит отметить, что по сей день не угасают ожесточенные споры о том, как буква x стала символом неизвестной величины. По мнению историка культуры Терри Мура, дело в том, что в алгебре аль-Хорезми “неопределенная величина” называлась “шен”[68]. В испанском языке нет буквы “ш”, и потому при переводе его трудов испанцы взяли самую близкую к ней букву x, которая дает испанский звук ch. Но в других источниках утверждается, что x нам подарил Рене Декарт, который применил буквы с разных концов алфавита в своей книге “Геометрия”, опубликованной в 1637 году[69]. Он обозначил известные величины буквами a, b и c, а неизвестные – буквами x, y и z.
Если вас пугает алгебра со всеми ее загадочными символами, представьте, что перед вами способ представить геометрические фигуры в текстовой форме.
Продумывая структуру своей книги, я провел искусственную черту между алгеброй и геометрией. Хотя обычно мы изучаем эти науки по отдельности – в основном потому, что так проще составлять учебный план, – алгебра естественным образом вытекает из геометрии. Это, в сущности, и есть геометрия, которая отказывается от картинок, тем самым позволяя математике освободиться от оков и расцвести. Чтобы понять, как это происходит, давайте вернемся – в очередной раз – к древней практике налогообложения.
Как мы видели в главе о геометрии, налоги часто рассчитывались в зависимости от площади полей – вавилонское слово eqlum, “площадь”, изначально и значило “поле”[70]. Неудивительно, что вавилонским чиновникам приходилось решать задачи наподобие вот этой, записанной на глиняной табличке YBC 6967 из Вавилонской коллекции Йельского университета:
Площадь прямоугольника равна 60, а его длина больше ширины на 7. Какова его ширина?
Попробуем решить эту задачу. Если взять ширину за x, то длина – это x + 7. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, а значит, задается следующим равенством:
A = x (x + 7)
Скобки здесь показывают, что каждое из слагаемых внутри них нужно умножить на величину, стоящую снаружи, и тогда получится:
A = x2 + 7x
Вавилоняне решали такие уравнения, производя последовательность действий, показывающих тесную связь между алгеброй и геометрией. Этот процесс называется “достраиванием квадрата”.
Вавилонский метод “достраивания квадрата” для решения квадратных уравнений
Чтобы решить уравнение вида x2 + bx, сначала нужно было зарисовать его в виде геометрических фигур. x2 – это квадрат со стороной x. bx – прямоугольник с длиной x и шириной b. Поделите этот прямоугольник надвое по длинной стороне и переместите одну половину в нижнюю часть квадрата, и у вас почти получится квадрат побольше. Чтобы достроить его, нужно просто добавить маленький квадратик со стороной b/2. Площадь этого квадратика – (b/2)2. Получается, что изначальное уравнение эквивалентно равенству (x + b/2)2 – (b/2)2.
Сталкиваясь с уравнением вида
x2 + bx = c
вавилоняне подставляли в него результат достраивания квадрата и получали:
Далее они работали с этим равенством и приводили его к формуле (хотя и не записывали формулу в современном представлении):
