линия, которая каким-то образом изгибается и образует кривую. В совокупности эти кривые делятся на четыре класса: параболы, окружности, эллипсы и гиперболы. Если вы знаете, что искать, то одного взгляда на уравнение вам будет достаточно, чтобы понять, какую кривую оно даст. Если в квадрат возведен лишь один
x или
y, то получится парабола. Если в квадрате стоят и
x, и
y, а числа (называемые коэффициентами) перед ними одинаковы, то получится окружность. Эллипс даст уравнение, напоминающее то, что задает окружность, где коэффициенты при
x и
y будут положительными, но разными. Гипербола задается уравнением, где коэффициенты при
x и
y имеют разные знаки: один из них положителен, а другой отрицателен.
Кривые, задаваемые различными квадратными уравнениями
Различные коэффициенты (a и b на графике) определяют, насколько вытянутыми будут формы или насколько большой окажется окружность. В совокупности эти формы изначально называли коническими сечениями, поскольку они возникают там, где конус пересекает плоскость. Если можете, возьмите фонарик и включите его в темной комнате, чтобы создать световой конус. Если направить луч фонарика прямо вниз, в месте пересечения конуса с полом возникнет окружность. Это простейшее из конических сечений. Теперь направьте луч на стену под углом около 45°. В месте пересечения светового конуса со стеной появится вытянутая окружность – эллипс. Чтобы создать параболу, нужно посветить фонариком на стену под углом, равным углу наклона светового конуса. Снова изменив угол падения света на стену, вы получите половину гиперболы.
Как разрезать световой конус, чтобы получить квадратичные кривые
Любопытно, что все эти математические формы встречаются в природе. Разумеется, вы и сами это знаете, ведь вы видели параболическую радугу и изображение эллиптической орбиты Земли в Солнечной системе. Тем не менее это важно: это значит, что мы должны быть в состоянии составить уравнения, описывающие природные явления на математическом языке. И это открывает дорогу к их глубокому пониманию.
В древности люди тщательно вели числовые записи, фиксируя частоту различных небесных явлений – комет, затмений, соединений и так далее, – и искали закономерности, чтобы рассчитать, когда наступит следующий значимый момент. Однако вплоть до начала XVII века (и даже в первые его годы) это было не более чем перемалывание чисел, и лишь затем появился Иоганн Кеплер. На основе данных Тихо Браге он установил, что планеты вращаются по эллиптическим орбитам, но у него никак не получалось понять почему. Древние греки утверждали, что небеса должны описываться окружностью, которую они считали совершенной формой, – и кто же мог объяснить, почему Вселенная полна тел, движущихся по эллиптическим орбитам? Теперь ответ на этот вопрос очевиден: любой, кто способен связать наблюдаемое движение планет с идеей о том, что на них воздействует одна сила. Например, Исаак Ньютон.
Благодаря прорывным математическим трудам Ньютона нам известно, что траектория тела, движущегося в одну сторону, но находящегося также под воздействием силы, направленной в другую сторону, напоминает одно из конических сечений. В зависимости от скорости тела и величины силы траектория будет либо круговой, как у наших спутников, либо эллиптической, как у планет, которые вращаются вокруг Солнца, либо параболической или гиперболической, как у некоторых комет, время от времени проносящихся мимо Земли. Уравнение движения – скажем, Ньютоново уравнение, описывающее силу притяжения, – также задает траекторию тела в динамике.
Впрочем, алгебру на Западе впервые применили не для изучения планетарных орбит. Неудивительно, что военные еще давным-давно задались вопросом, не может ли алгебра помочь с такими вещами, как расчет угла, под которым солдату следует установить пушку с учетом позиции противника. Ответ – да. Алгебра может справиться с этой задачей.
Искусство войны
Нередко ученые посыпают голову пеплом, узнавая о том, какое применение находят их труды в военной сфере. Пожалуй, самый известный пример – атомщик Роберт Оппенгеймер, который возглавлял Манхэттенский проект по разработке первой в мире атомной бомбы. Через три года после первого атомного взрыва он заявил, что “физики познали грех, и лишиться этого знания они никогда не смогут”[76]. В XVI веке о таком же чувстве стыда заявил математик Никколо Тарталья.
Тарталья – это прозвище, означающее “заика”. Оно приклеилось к Никколо еще в детстве в Брешии, после того как город осадила французская армия. Они с матерью спрятались в часовне, но туда ворвались французы, и один солдат мечом рассек Никколо рот. Бедный мальчик чуть не лишился способности говорить, но оказался человеком невероятно сильной воли. Заика не только выжил (отчасти благодаря тому, что его мать самоотверженно вылизывала ему раны, чтобы в них не попала грязь), но и вырвался из нищеты, в которой жила его семья, сам освоил науки и стал уважаемым математиком.
В рамках своих исследований Тарталья решил “задачу артиллериста”: определил, как угол наклона пушечного ствола влияет на дальность полета снаряда[77]. Из-за этого его замучила совесть. Он отметил, что такое применение алгебры “вредно”, “разрушительно для рода человеческого”, а также “предосудительно, оскорбительно и жестоко, а потому заслуживает тяжелой кары Господней и людской”. И сжег все свои рукописи.
Но затем передумал.
Когда османский султан Сулейман укрепил позиции и стал грозить всему христианству, нежелание Тартальи применять его новую артиллерийскую науку для убийства людей затмила его преданность своим христианским братьям и сестрам. “Учитывая, что волк собирается напасть на наше стадо, – написал он своему покровителю герцогу Урбинскому, – я считаю более недопустимым скрывать эти вещи”. И он представил герцогу алгебру артиллерии.
Что же определяет траекторию артиллерийского снаряда? Допустим, пушка стоит в точке p на оси x и стреляет горизонтально по цели, находящейся в точке q. Снаряд вылетает из ствола со скоростью v. Не принимая в расчет сопротивление воздуха, скажем, что на него воздействует единственное ускорение, гравитация a, а значит, он полетит по одному из конических сечений – по параболе. По прошествии времени t он достигнет точки q, и это можно описать следующим уравнением:
q = p + vt + 1/2 at2
Иными словами, итоговое положение снаряда по оси x равняется сумме его начального положения, скорости, умноженной на время t (скорость, умноженная на время, – это просто расстояние), и половины ускорения, умноженного на время t в квадрате.
Впрочем, вам, вероятно, не захочется, чтобы пушка стреляла горизонтально. А когда вы поднимаете ее ствол на угол A, чтобы обеспечить определенную дальность стрельбы, вам приходится учитывать горизонтальный и вертикальный компоненты траектории полета снаряда. И так мы возвращаемся в сферу тригонометрии.
