Я должен быть в состоянии представить способ измерить наклон оси. И это должно позволить мне понять, как движение земной поверхности относительно звезд дает мне способ выяснить, в какой именно точке поверхности я нахожусь.
Большинство из нас с таким не справится – по крайней мере, если не прилагать огромных усилий. Почему? Подозреваю, потому что мы живем в технологическом обществе XXI века, где перечисленные геометрические явления встроены в программное обеспечение. У Герона, Евклида и Эратосфена не было ни миниатюрных моделей, ни систем визуализации. Им ничего не оставалось, кроме как учиться представлять все сложности геометрии в уме, желая воспользоваться ее преимуществами. Их достижения показывают, на что способен человеческий мозг, хотя сегодня, когда столь многое делается за нас, об этом легко забыть. Если мне захочется построить геометрическую структуру, я могу открыть систему автоматизированного проектирования. Если мне захочется узнать, в какой точке Земли я нахожусь или как добраться до нужного места, я могу открыть приложение на телефоне. Пилотов по-прежнему учат определять румбы и локсодромии – на случай если откажет система GPS, – но обычным людям эти древние знания не нужны. Я не могу отделаться от чувства, что в определенном отношении мы из-за этого многое теряем. Так, некоторые исследователи утверждают, что, порвав с геометрией, мы ограничили свои творческие способности[61]. Говорят, теперь нашему мозгу не хватает умений, которые были у людей, применявших геометрическое мышление. Но свидетельств этому не так уж много, и, возможно, это не имеет значения. Как бы то ни было, геометрия, бесспорно, сыграла огромную роль в развитии искусства и архитектуры, а также в географических исследованиях. Я пересмотрел свое первое впечатление от нее, которое получил в восьмилетнем возрасте, и теперь уверен, что каждый должен испытать радость геометрии, даже если она не приносит пользу и не меняет мозг.
Не уверен, что сказал бы то же и об алгебре. Томас Джефферсон однажды назвал изучение этого предмета “изысканной роскошью”[62], а английский писатель Сэмюэл Джонсон рекомендовал заниматься алгеброй, чтобы делать разум “менее мутным”. Другие, впрочем, не разделяли их энтузиазма. Даже столь подкованный в алгебре человек, как британский математик Майкл Атья, считал ее палкой о двух концах. Алгебра, по его мнению, отнимает у математика характерную для геометрии интуитивную связь с реальным миром и представляет собой математику, лишенную человечности. “Алгебра – это предложенная математику сделка с дьяволом, – сказал он однажды. – Дьявол говорит: я дам тебе мощный инструмент, который ответит на любые твои вопросы. Ты должен лишь отдать мне свою душу”[63].
Стоит ли алгебра того? Скоро узнаем.
Глава 3. Алгебра. История организации
Уметь считать – прекрасно, но что, если кое-что все же остается неучтенным? Научившись создавать и использовать такие математические инструменты, как квадратные уравнения, мы получили возможность находить недостающие числа и подчинять себе процессы, происходящие в природе. Простейшие вещи – понять, какой налог платить и как победить в битве, даже если вам противостоит всего лишь другой математик, – вскоре превратились в продвинутые алгоритмы для решения любых задач, от прогнозирования движения планет до снижения затрат на эксплуатацию автомобилей и обеспечение выживания человечества в холодной войне.
Во вторник, 17 апреля 1973 года, небольшая транспортная компания начала революцию в сфере, в которой революции никто не ожидал. На 14 малых самолетах она за одну ночь доставила 186 посылок в 25 городов[64]. Описать эту революцию просто: каждый из этих рейсов вылетел из Мемфиса в штате Теннесси.
Сначала работу этого “веерного” предприятия обеспечивали всего 389 сотрудников, и приносить прибыль оно стало лишь через два года. Сегодня в его штате 170 тысяч человек, а его годовой доход составляет 71 миллиард долларов. Это FedEx.
Успех FedEx объясняется тем, что основатель компании решил вести всю логистику из точки, являющейся самым удобным центром для доставки грузов по США. Как ему это удалось? Фредерик Смит, основатель и генеральный директор FedEx, почти наверняка взял карту США и нашел на ней аэропорт, расположение которого позволяло свести к минимуму среднее расстояние перемещения посылки. Учитывались и другие факторы: в этом аэропорту круглый год должна была стоять хорошая погода, чтобы он редко закрывался, а его руководство должно было согласиться немного изменить инфраструктуру под нужды предприятия Смита.
Оказывается, выбор Смита был не оптимальным. В 2014 году профессор математики Кент Моррисон разработал алгоритм, позволяющий произвести более систематический расчет, и использовал данные переписи населения, чтобы выяснить, где именно живут люди в США[65]. Он пришел к выводу, что оптимальная точка для логистического центра находится примерно в 110 километрах к юго-западу от Индианаполиса, в округе Грин в Индиане. До центра Смита в Мемфисе оттуда всего 500 километров. Любопытно, что конкурент FedEx, компания UPS, оказалась чуть ближе. UPS бесстыдно перешла на веерную систему вскоре после успеха FedEx и разместила свой логистический центр в Луисвилле (штат Кентукки), всего в 440 километрах от центра расселения американцев.
FedEx и UPS – классические логистические компании. Логистика – это маркировка, сортировка, группировка и транспортировка. Человеческая цивилизация построена на решении логистических задач, будь то хоть строительство пирамид в Древнем Египте, хоть пришедшее к Наполеону понимание того, что снабжение продовольствием – залог успешной армии, хоть современные задачи по обеспечению того, чтобы пилоты авиакомпаний, посылки с Amazon и пакеты данных, путешествующие по Всемирной паутине, оказывались ровно там, где должны быть в конкретный момент. Для всего этого необходимо то, что математики называют алгеброй. Следовательно, можно смело сказать, что эта книга – хоть в печатной, хоть в электронной версии – оказалась у вас в руках не без помощи алгебры. За доставку отвечает математика.
Решаем квадратное уравнение
Что вообще такое алгебра? Возможно, в вашем представлении – вполне обоснованном, если вспомнить, как алгебру обычно преподают, – это пугающий лабиринт уравнений, буквенная мешанина x, y, z, a, b и c, да еще и куча верхних индексов в придачу (2 и 3, а может, даже 4). Непосвященных такое, несомненно, обескураживает. Но алгебра – не синоним проблем. На самом деле это просто искусство выявления скрытой информации не основе имеющихся данных.
Слово “алгебра” произошло от арабского “аль-джебр” из названия написанной в IX веке книги Мухаммада аль-Хорезми (о ней упоминалось в первой главе – это “Краткая книга о восполнении и противопоставлении”). В ней собраны древнеегипетские, вавилонские, древнегреческие, древнекитайские и древнеиндийские методы определения неизвестных при наличии заданных величин. Аль-Хорезми дает нам инструкции – формулы, которые мы называем алгоритмами, –
