Постулат 2: Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Постулат 3: Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны[1].
Папирус с фрагментом предложения № 5 из книги II «Начал».
* * *
Неужели в его рассуждениях не было ни единой ошибки? Зачем ему потребовалось сопровождать свои рассуждения рисунками? Не описывают ли эти рисунки ситуации, не рассмотренные в постулатах? И действительно, уже в первой теореме Евклид считает истинным, что две дуги окружности пересекаются в точке, однако в каком из исходных постулатов это утверждается? Можно ли утверждать, что линии являются непрерывными? Не появятся ли на них промежутки, если мы рассмотрим их под микроскопом? С другой стороны, что именно рассматривал Евклид — отрезки или прямые?
Отрезки, прямые, треугольники, квадраты, круги… В математике царят столь совершенные фигуры, что, кажется, они не могут быть созданы человеком, а являются божественным творением либо существуют сами по себе, в идеальном и безупречном мире. Эту точку зрения, в которой явно прослеживается влияние идей Платона, разделяют практически все математики начиная с античных времен. Те же, кто считает иначе, пришли к своим убеждениям после длительных размышлений о сущности математики. Пифагорейцы полагали, что соотношениями чисел описаны законы всего сущего. Если совершенство было приближено к числу, то число было приближено к Богу. Круг — идеальная сущность, о свойствах которой говорят, что они «открыты». Можно сказать, что существует в некотором роде единый образ этой геометрической фигуры, общий для всех, и когда мы рассматриваем окружность, то открываем ее свойства и отношения с другими идеальными фигурами. Таково традиционное представление о математическом открытии, которое впоследствии было поставлено под сомнение.
Можно ли творить без помощи логики?
Логика — обязательный элемент математики. Именно логика — залог корректности математических выводов, строгий судья, определяющий их истинность или ложность. Однако математику нельзя свести исключительно к логике. Если бы теоремы можно было вывести с помощью формальных логических правил, с этой задачей вполне справился бы компьютер, выдав нам множество новых теорем. К сожалению, математики обычно публикуют окончательные и проверенные результаты своего труда, не позволяя нам увидеть путь, которым они шли.
Должно пройти много времени, прежде чем этот порядок вещей изменится. Математические блюда по-прежнему подаются на роскошной посуде и не содержат ни малейших изъянов. Мудрец-повар пробует свое блюдо снова и снова, пока не решит, что оно готово и его можно подавать. Он ищет ошибки и исправляет их, если находит. Если же в рецепт закралась неустранимая ошибка, такое блюдо немедленно отвергается и возвращается на кухню — именно там, а не в зале ресторана, вершится математика. Именно там готовятся аксиомы, теоремы и доказательства. Именно там совершаются ошибки, проверяются гипотезы и отвергаются идеи. Фартуки поваров покрываются грязными пятнами, а сами повара впадают в отчаяние, оттого что логика не идет на поводу у их интуиции. И тогда они тысячу раз проклинают свое ремесло, которое многие считают божественным.
Однако математическую кухню питает не только огонь логики: на ней не обойтись без интуиции, аналогий, экспериментов, гипотез, то есть без мысли. Так как все люди мыслят по-разному или руководствуются разными интересами, на размышления математиков и их деятельность влияют общество и культура. Почему одна теорема более ценна, чем другая? Почему все пытаются доказать одни теоремы и не уделяют внимания другим? С помощью логики можно сделать бесконечное множество тривиальных умозаключений, которые не представляют никакой ценности. Развитие математической мысли вызвано интересом людей к решению задач, теоретических и практических, полезных и бесполезных, а сами задачи могут отражать стремление к знаниям или рассматриваться как личный вызов.
Полнее и точнее всего этот аспект математики описан в классических научно-популярных книгах, в частности «Что такое математика?» американских авторов Рихарда Куранта и Герберта Роббинса (первое издание вышло в 1941 году, с тех пор книга неоднократно переиздавалась), в более поздней книге «Математический опыт» Филипа Дэвиса и Рубена Херша (1999) или в книге последнего «Что же такое математика на самом деле?» (1997). В этой книге Херш приводит простой и понятный пример: «Формулу 2 + 2 = 4 можно доказать как теорему в некоторой модели аксиом, однако ее сила и убедительность происходят из физической модели — например, ее правильность нетрудно подтвердить с помощью монет или камней». Более того, логика, используемая в формальном доказательстве, которое упоминает Херш, появилась значительно позже, чем подсчет камней. Курант и Роббинс, в свою очередь, подчеркивают важнейшую роль, которую играют в развитии математики эксперимент, интуиция и аналогия:
«…хотя принципа математической индукции совершенно достаточно для того, чтобы доказать эту формулу — раз она уже написана, однако доказательство не дает решительно никаких указаний, как прийти к самой этой формуле… Тот факт, что доказательство теоремы заключается в применении таких-то простых логических правил, не оказывает ни малейшего влияния на творческое начало в математике, роль которого — делать выбор из бесконечного множества появляющихся возможностей. Вопрос о том, как возникает гипотеза, — из той области, в которой нет никаких общих правил; здесь делают свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция».
Логика очень важна в математике, однако она не настолько тесно связана с открытиями и изобретениями, как может показаться. Логика не указывает путь и не подсказывает, как найти решение. Этот путь открывают эксперимент, аналогия и интуиция, а затем логика превращает эти нехоженые тропинки в широкую магистраль, по которой может проехать любой. Проиллюстрируем это на примере, рассмотрев известную геометрическую задачу, решенную благодаря счастливому озарению.
Счастливое озарение
Даны две точки Р и Q и отрезок s, как показано на рисунке. Мы хотим попасть из точки Р в точку Q, пройдя через некоторую точку на отрезке s. Какой точке отрезка s соответствует кратчайшая траектория?
Чтобы решить эту задачу, представим, что отрезок s — это зеркало. Построим отражение точки Q в этом зеркале и обозначим его Q'. Проведем отрезок, соединяющий Р и Q', который пересечет s в точке X.
Отрезок PQ' определяет кратчайший путь между Р и Q', а точка пересечения этого отрезка с отрезком s определяет положение точки X. Теперь осталось вновь использовать симметрию, отразить отрезок XQ' в зеркале s и увидеть, что длина отрезка XQ равна длине отрезка XQ'. Мы получили ломаную линию PXQ, длина которой равна длине отрезка PQ'.
Следовательно, кратчайший путь из точки Р в точку Q, проходящий через точку на отрезке s, будет лежать через точку X.
Как автору этого решения пришла в голову идея использовать симметрию? Как его только осенило? И такое удивление вызывает любая полезная идея, которая пришла не нам в голову. Тем не менее математическому творчеству и решению задач можно научиться, и наша книга — именно об этом.
Приведенное решение основано на том, что симметрия сохраняет расстояния, а отрезок является кратчайшей линией, соединяющей две данные точки. Теперь, когда вам уже известно решение этой задачи, оно может показаться тривиальным, однако тому, кто видит эту задачу впервые, его непросто найти, так что перед нами — яркий пример творчества.
Логика сама по себе не приводит к решению. Найти его можно благодаря проницательности, умению проводить дополнительные линии, не отмеченные на исходной иллюстрации, и связывать новые линии с различными элементами задачи. Логика предоставляет нам выбор из множества возможных действий, но не подсказывает, какое из них следует выбрать.
Способностью к математическому творчеству обладают не все, точно так же, как не все обладают способностями к искусству, музыке, архитектуре или науке. Однако многие часто объясняют счастливым озарением умение увидеть то, что не приводится в исходной формулировке задачи и что сложно себе представить.
