справиться с ним из-за достижения лимитов. Когда арбитражное сообщество приближается к уровню насыщения, давление на соотношение между тем, что считается дорогим, и тем, что считается дешевым, приводит к серьезным потерям на рынке. Это вызывает ликвидацию менее капитализированных арбитражеров.
Один мудрый трейдер сказал: «Неэффективность на рынке может длиться дольше, чем трейдеры сумеют оставаться платежеспособными».
Более продвинутые представления об арбитраже и стохастическом доминировании представлены в модуле F.
Глава 6
Волатильность и корреляция
Если и есть что-то общее у трейдеров и историков, так это укоренившееся недоверие к понятию корреляции.
ВЕТЕРАН ОПЦИОННОЙ ТОРГОВЛИ
В этой главе рассматривается понятие волатильности с минимальным использованием математики. В числе прочего она призвана показать, что понятие волатильности может быть довольно двусмысленным.
■ Волатильность можно определить как величину изменчивости доходности конкретного актива (как будет показано позднее, существует множество подходов к измерению волатильности).
● Фактическая волатильность – это измеренное движение базового актива. Ее часто называют исторической, иногда исторически действительной.
● Подразумеваемая волатильность – это параметр волатильности базового актива, вытекающий из цен опционов на определенную дату исполнения. Операторы используют как эталон формулу Блэка–Шоулза–Мертона (и ее производные). По устоявшейся практике принято оценивать опционы именно по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, даже если ее считают неуместной и ошибочной, а не по более продвинутым формулам ценообразования.
■ Под корреляцией понимают связь между двумя случайными переменными, измеренную по методу наименьших квадратов. Она определяет степень уверенности, с которой можно предсказать изменение одной случайной переменной в результате изменения другой переменной. К случайным переменным относится логарифмическая доходность активов, или [Log(цена периода t) – Log(цена периода t – 1)].
● Фактическая корреляция – это степень фактической связи между движениями двух рынков. Ее часто называют исторической, иногда исторически действительной.
● Подразумеваемая корреляция – это корреляционный параметр, вытекающий из цен опционов. Подразумеваемых корреляций столько же, сколько существует сроков исполнения опционов. (Модуль D включает объяснение расчета подразумеваемой корреляции с помощью метода треугольника.)
Мастер опционов: корреляция и волатильность
Трейдеры часто примерно считают, что 100 %-ная корреляция между активами A и B – это когда актив A должен измениться на 1 % в ответ на движение актива B на 1 % (в том же направлении). Однако это не так – они могут быть коррелированы на 100 % и в том случае, когда актив A движется на 2 % в ответ на каждое 1 %-ное движение актива B, если актив B имеет в два раза более высокую волатильность, чем актив A.
На самом деле корреляция показывает ожидаемое соотношение движений активов, деленное на их соответствующую волатильность.
Предположение, лежащее в основе большинства моделей случайного блуждания, исходит из логнормальности, необходимого ограничения, в соответствии с которым активы не могут (в теории) иметь отрицательную цену. Случайному блужданию и корреляции посвящен модуль А. Наиболее опасно предположение о постоянной корреляции. Трейдеры должны понимать: рынки приспособились к тому, что волатильность непостоянна, но не к тому, что корреляция волатильна.
На рис. 6.1 показано кумулятивное распределение одного стандартного отклонения во времени. Предполагаемая волатильность составит в годовом исчислении 15,7 % – ожидается, что рынок будет двигаться на 1 % в день, на 2,23 % каждые 5 дней
на 4,47 % каждые 20 дней и на 15,7 % за 248 дней в течение рабочего года Теоретики долго обсуждали, следует ли рынок геометрическому броуновскому движению или арифметическому (см. табл. 6.1, рис. 6.2 и 6.3). Разницу можно легко объяснить следующим образом.
● Геометрическое броуновское движение означает (грубо)[117], что рынок поддерживает постоянное ожидаемое процентное изменение, скажем в размере 1 %. Это упрощает сложную проблему и позволяет объяснить, почему волатильность доллара должна быть выше при более высоких ценах, а также почему она падает по мере ослабления рынка (это демпфер, предотвращающий смещение рынка на отрицательные уровни). Если рынок падает со 100 до 1, 15,7 %-ная волатильность будет отражать изменения на 0,01 тика. При движении на 0,10 это было бы 0,001 и т. д.
● Арифметическое броуновское движение означает, что рынок поддерживает постоянное ожидаемое движение доллара независимо от его уровня. Это утверждение опровергается учеными, поскольку оно может привести к отрицательным ценам на активы. Однако трейдеры относятся к нему серьезно, поскольку считают, что при приращениях среднего размера допущение выполняется. Кроме того, инструменты денежного рынка на протяжении всей истории не раз оказывались на грани отрицательных цен[118].
● Интересны результаты смешанного процесса, обычно наблюдаемого на финансовых рынках, – это арифметическое броуновское движение в краткосрочной перспективе и геометрическое броуновское движение в долгосрочной. Данное явление будет рассмотрено подробнее дальше.
Мастер опционов: «Возможно, Башелье был прав»
Многие из операторов кэпов/флоров пострадали от ралли евродоллара (падение доходности) в период с 1991 по 1993 г. При ставке 9 % историческая волатильность в среднем была близкой к 9 базисным пунктам в день. При этом коллы вне денег продавались из расчета, что «процент» волатильности не изменится в ходе ралли. Это означало, что при доходности 4,5 % «волатильность тика» евродолларов, или «волатильность доллара», будет близка к 4,5 базисного пункта. Продавцы, как оказалось, ошибались, поскольку волатильность тиков оставалась практически неизменной, а их позиции в коллах вне денег стали короткими на очень низких уровнях.
Ралли в евродепозитах привело к росту подразумеваемой и исторической волатильности, определяемой опционной теорией (т. е. логнормальной доходности). Так или иначе, цена опционов при деньгах в тиках оставалась близкой к одному и тому же уровню на протяжении всего периода. Это побудило известного рыночного мыслителя признать: «Возможно, в конце концов этот Башелье был прав». Он имел в виду Луи Башелье, французского математика, который в 1900 г., за 73 года до Блэка и Шоулза, написал докторскую диссертацию с оценкой опционов в соответствии с арифметическим броуновским движением. Работы Башелье долгое время игнорировались[119].
Трейдеры евроиеной пострадали значительно больше. Краткосрочные процентные ставки в 1995 г. достигли 0,10 %, движение на 1 базисный пункт соответствовало волатильности 160 %. Волатильность переместилась во время ралли с «приемлемых» уровней (около 20 %) на 200 %, т. к. трейдеры евродепозитами не знали, что рынок должен быть логнормальным. В данных условиях модель Башелье выглядела вполне достоверной, поскольку рынок начал платить за 100 коллы (при этом цены путов застряли в нулевой оценке) в уверенности, что нельзя исключать возможность выхода рынка в отрицательную область.
Мораль: трейдеры должны менее серьезно относиться к теоретическим догмам.
Расчет исторической волатильности и корреляции
Концентрация вокруг среднего
Для удобства расчета, а также по теоретическим соображениям волатильность доходности для динамического хеджера может быть рассчитана как квадратный корень суммы квадратов движений, а не как отклонение от среднего. Если бы рынок ежедневно двигался на 1 % в одном и том же направлении (скажем, вверх) на протяжении целого месяца, то обычный метод измерения волатильности оценил бы волатильность как 0 %, поскольку все движения базового актива соответствовали бы среднему значению. Это идет против инстинкта опционного трейдера. Он по-прежнему считает, что волатильность составляет 1 % в день, и в этом случае предпочел бы купить волатильность, когда она предлагается дешевле 16 %.
Статистически при отсутствии хорошо выраженных трендов или трендов, доминирующих в дисперсии, оба измерения дают схожие результаты[120].
Формулы. Примем во внимание, что доходность в любой период для выбранной торгуемой пары на рынке будет составлять:
(Натуральный) логарифм двух цен будет соответствовать процентной доходности (этого объяснения в грубом приближении для трейдеров достаточно).
Эти цены необходимо периодически и последовательно выбирать. Если выборка происходит каждый четверг в полночь, то доходности должны соответствовать такому периоду. Многие операторы используют ежедневные официальные
