изменениями волатильности и величиной движений рынка. Информация об этом будет рассмотрена далее. Более того, поскольку волатильность непостоянна, появляется кривая волатильности и необходимость принятия допущений о ее поведении.
● Допущение 4 будет рассмотрено в главе 11. В некоторых случаях распределение можно считать арифметическим, как в ранней работе Башелье.
● Допущение 5 имеет два следствия, которые необходимо учитывать. Первое заключается в том, что уровень дрейфа меняется (процентные ставки далеки от постоянных). Кроме того, он коррелирует с движением цен активов (в трендовых активах, таких как Мексика, связь очевидна). Второе следствие – дрейф движется не параллельно, но предсказуемо.
В таблице ниже перечислены недостатки греков и простые модификации для их исправления. Это позволяет использовать производные формулы Блэка–Шоулза–Мертона в свете вышеизложенных оговорок.
Технические подробности видоизменения формулы Блэка–Шоулза–Мертона приведены в модуле G. Научное толкование читатель может найти в работах Hull (1993), Cox and Rubinstein (1985) или Jarrow and Rudd (1983).
Мастер опционов: суть модели Блэка–Шоулза–Мертона
Суть модели[137] заключается в риск-нейтральной репликации ценных бумаг на рынке, который, как утверждается, является идеальным. Однако это не означает, что каждая ценная бумага может быть реплицирована каждым арбитражером, как нередко считают.
Например, при наличии варранта на японскую акцию операторы, участвующие в таком арбитраже, не могут динамически реплицировать его из-за трудностей с заимствованием бумаг для короткой продажи акций. Но это не означает, что справедливая стоимость варранта должна быть отличной от теоретической, если издержки, связанные с репликацией, затрудняют работу арбитражеров. Модель Блэка–Шоулза–Мертона не требует, чтобы каждый оператор был дельта-нейтральным при бесконечно малых изменениях цены акций. Только выдуманный оператор будет обменивать акции туда-сюда при малейшем изменении.
Другая проблема заключается в том, что оператору, возможно, придется держать ценную бумагу в портфеле до истечения срока ее действия. Чтобы принять решение о покупке ценной бумаги, ему придется использовать величину дисперсии, отличную от бесконечно малой дисперсии ценной бумаги.
Точно так же, как стоимость одних опционов может рассматриваться как предельное разложение других при полном понимании того, что такая стоимость не будет достигнута посредством репликации, мы можем рассматривать справедливую цену Блэка–Шоулза–Мертона как предельное значение арбитражного решения, нейтрального с точки зрения риска.
Мастер опционов: почему хорошие модели умирают
Большинство новых моделей, которые пытались исправить недостатки модели Блэка–Шоулза–Мертона, не выжили. Восхитительный и реалистичный инструмент, скачкообразная диффузионная модель ценообразования Мертона, редко реализуется по той простой причине, что он требует оценки двух дополнительных параметров – размера скачка по модели Пуассона и его частоты. Методы стохастической волатильности (см. Hull and White, 1987) также были незаслуженно выброшены в мусорную корзину бизнес-школами из-за необходимости оценивать два дополнительных параметра – изменчивость волатильности и корреляцию между волатильностью и каким-нибудь индикатором цены актива. Те же самые проблемы возникают и при внедрении эффективных моделей кривой доходности вроде тех, что соответствуют подходу Хита–Джарроу–Мортона. Трейдеры избегают их, несмотря на настойчивые требования исследовательских отделов, и предпочитают простую формулу Блэка–Шоулза–Мертона.
Трейдеры знают о недостатках этой формулы: существование «пространства волатильности» – это одна из попыток модифицировать ее. Но все же они предпочитают подгонять какой-то параметр (читай: волатильность) и превращать его в функцию от времени до экспирации и страйка, а не заниматься точной оценкой другого параметра.
Глава 7
Адаптация модели Блэка–Шоулза–Мертона: дельта
Всегда предпочтительнее быть примерно застрахованным от широкого набора случайностей, чем точно застрахованным от одного узкого параметра.
МАРТИ О'КОННЕЛЛ
■ Дельта – это чувствительность цены дериватива к движению базового актива. Ее выражают либо в процентах, либо в абсолютных числах. Дельта величиной 50 % означает, что дериватив в два раза менее чувствителен к цене базового актива и что для воспроизведения поведения базового актива стоимостью $1 необходим дериватив номинальной стоимостью $2[138].
Дельта выражается как первая математическая производная цены дериватива по отношению к цене базового актива. Она является коэффициентом хеджирования актива для бесконечно малого движения. Однако, когда портфель включает в себя более одного опциона с комбинацией коротких и длинных позиций, дельта и коэффициент хеджирования начинают расходиться.
Дельта необязательно ограничивается опционами и условными требованиями. Она может использоваться для форвардов, фьючерсов и других линейных инструментов, где ее точность как меры риска значительна. Линейность в данном случае означает нединамическое хеджирование, поскольку динамическое хеджирование – это то, что делает дельту как меру риска очень сомнительной. Дельта для форварда должна учитывать дисконтирование денежного потока для достижения эквивалента денежного продукта.
Возможно, самое большое заблуждение на финансовых рынках связано с определением дельты и ее значением как инструмента хеджирования. Каждый оператор инстинктивно понимает, что точное хеджирование в непрерывном времени невозможно. Разница между дискретными и непрерывными приращениями дельты очевидна при рассмотрении особых ситуаций, таких как торговля реверсией риска или анализ барьерных опционов.
Попытка придать дельте какое-либо значение с точки зрения управления рисками представляет собой отказ от динамического взаимодействия параметров. Это частично объясняется желанием непрофессионалов получить численное значение экспозиции без каких-либо затрат. Нужно помнить, что на динамических рынках ничто не может быть схематизировано. Дельта теряет свою значимость, когда трейдеры переходят от простого опциона к портфелю длинных и коротких позиций. При этом многим трейдерам торговлю лимитируют по дельте, а не на основе более глобального анализа сценариев.
Правило управления рисками: модели с непрерывным временем должны использоваться для ценообразования и получения базовой справедливой стоимости, а не для хеджирования.
Характеристики дельты
На рис. 7.1 показана дельта для простой стратегии. Опцион колл с ценой страйк 100 оценивается при волатильности 15,7 %, изначальная дельта составляет 50. Графически это похоже на касательную к цене опциона и показывает наклон изменения цены в начальной точке (100).
В случае, показанном на рис. 7.2, легко убедиться, что дельта на самом деле является хеджем относительно начальной точки (100) и что хеджирование нуждается в корректировке, когда мы видим разрыв между наклоном дельты и кривой цены опциона.
Непрерывная дельта не всегда является коэффициентом хеджирования
Дельта, как правило, интерпретируется как эквивалентная позиция спот, но такое определение неприменимо к управлению портфелем. Профессионалы игнорируют определение дельты как меры риска и оценки эквивалентности позиции (хотя их исследовательские департаменты и подготовленные по учебникам риск-менеджеры, как правило, не склонны делать этого). Для всего, что выходит за рамки стабильного опциона при деньгах, дельта не является значимой.
Мастер опционов: дельта на полмиллиарда долларов
Проблемы со смыслом дельты усугубляются наличием барьерных опционов.
Интересной иллюстрацией этого микроскопического изменения является спор о барьерных опционах, который, как говорят, произошел в одной крупной организации между риск-менеджером и группой трейдеров. Риск-менеджер (который, как водится, с подозрением относился к любым объяснениям трейдеров) запрещал торговлю на том основании, что дельта достигала 10 000 % на барьере. По его логике, это поставило бы позицию намного выше любого допустимого фирмой лимита, сделка размером $5 млн была бы эквивалентной позиции на полмиллиарда долларов! Поэтому он не позволил трейдеру входить в сделку.
Трейдер был взбешен такой логикой. Его максимальный риск по сделке был меньше $400 000, если все пойдет не так. Правда, дельта по формуле подскочила до ненормального уровня между 1,399999999 и 1,40, но для полуматематика-риск-менеджера объяснение, что дельты иногда являются неактуальной тратой компьютерной мощности, звучало как ересь.
Согласно формуле, трейдеру нужно было купить полмиллиарда долларов вблизи барьера, а затем продать их, чтобы сделать переход плавным. Если бы этот маневр был осуществим, то барьерные опционы стали бы лучшими инструментами для торговли. Отказ от торговли по дельте и рассмотрение позиции как ставки с положительной ожидаемой доходностью представляется в данном случае более консервативным подходом.
