закрытия, но есть и те, кто берет цену в течение дня, когда все рынки очень ликвидны.
Волатильность x для любого периода обычно оценивается как
Отметим, что (n – 1) используется вместо n из-за потери одной степени свободы при оценке среднего x.
Отбрасывание
, средней доходности, означает, что в формуле нужно оценивать на один параметр меньше. Это также приближает оценку волатильности к тому, что должно фактически влиять на прибыль/убыток трейдера[121]. В этом случае волатильность σ' (не взвешенная, не центрированная) может быть выражена как:
Чтобы выразить волатильность с помощью трейдерских общепринятых понятий, приведите ее к годовым значениям. Если доходность при вычислении волатильности является дневной, а торговый год состоит из 248 дней, то трейдер должен умножить показатель волатильности на
Если бы доходность была недельной, он должен был бы умножить ее на и т. д.
Обратите внимание, что трейдер может умножать на
при условии, что он добавит выходные дни в ряд данных для расчета. Это добавит два нуля в неделю при расчете и примерно будет соответствовать возможному отклонению для более коротких периодов.
В табл. 6.2 приведен пример расчета исторической волатильности. Он показывает последовательность дневных цен (для воображаемой пары валют) за 22 дня. Это дает 21-дневный результат. В столбце 3 вычисляется натуральный логарифм доходности, а в столбце 4 – квадрат Log(St/St–1). Годовая волатильность вычисляется как квадратный корень суммы столбца 4/21, умноженный на квадратный корень из 248 = 10,73 %.
Корреляция между доходностями x и y (обе пары необязательно являются парами одних и тех же валют) классически определяется как:
однако допустимо игнорировать среднее значение доходностей и использовать:
В табл. 6.3 приведен пример вычисления корреляции.
Связь между подразумеваемой волатильностью и подразумеваемой корреляцией будет рассмотрена далее.
Введение в фильтрацию
Какую волатильность следует использовать? За 10 дней? За 100 дней?.. К счастью для трейдеров, прямого ответа нет, и это разногласие помогает создать рынок. Некоторые трейдеры с хорошей памятью предпочитают возвращаться на многие годы назад, в то время как другие становятся жертвами той или иной формы рыночной амнезии.
Фильтрация является простым методом принятия того факта, что события в прошлом должны иметь неравные веса (см. рис. 6.4). Далее представлен упрощенный вариант фильтра Калмана: экспоненциальный распад[122].
Трейдеру необходимо придавать значение прошлым событиям обратно пропорционально их удаленности от настоящего времени. При этом он должен быть достаточно гибким, чтобы не принимать прошлые данные как абсолютную истину, когда есть информация о прогнозируемом завтрашнем взрыве на рынке или происходят изменения в рыночной структуре, влияющие на взвешивание. Последнее, что трейдеру требуется, – это быть ученым или играть в эконометрику в рабочее время.
Символ λ используется для оценки коэффициента распада. Он заменяет количество дней, на которые следует вернуться назад в предшествующий временной порядок. Вместо удлинения временно́го периода можно приблизить веса к 1.
когда число n очень большое (больше 1000 наблюдений, как правило), а λ по определению меньше 1.
Тот же самый фактор распада можно применить к корреляции, чтобы нивелировать эффект недавней памяти.
С использованием того же примера в табл. 6.4 приведен расчет волатильности при λ, равной 0,97.
В столбце 1 показано количество дней; в столбце 2 представлено движение активов; в столбце 3 – логарифмическая доходность (натуральные логарифмы); в столбце 4 – квадрат столбца 3; а в столбце 5 – сила λ по количеству дней. При движении вверх по столбцам видно, что важность взвешивания уменьшается. Мы используем λ на 22-й день, поскольку вычисляем волатильность именно на этот или более поздний день, λ2 – на 21-й день, λ3 – на 20-й день и т. д.
В столбце 6 показан результат умножения столбцов 5 и 4, а именно взвешенная доходность в квадрате за период.
Дневная взвешенная волатильность – это квадратный корень (сумма столбца 6/21)/сумма столбца 5 = 0,006675. Годовая процентная волатильность получена путем умножения на
Читатель может попробовать выполнить то же самое упражнение со взвешенными корреляциями.
Нет такого понятия, как постоянная волатильность и корреляция
На рис. 6.5–6.9 показано, что трейдер должен остерегаться понятий «постоянная волатильность» и тем более «постоянная корреляция».
На рис. 6.5 представлена подразумеваемая волатильность USD-DEM для 1-месячных опционов в течение части 1992 г.
На рис. 6.6 показана фактическая 2-недельная волатильность индекса S&P500. Волатильность S&P500 подскочила до 120 % во время краха в октябре 1987 г., образовав пик на графике. Измерение волатильности волатильности показало бы, что она еще больше, чем волатильность базового актива, особенно если ее разбить на неперекрывающиеся короткие периоды.
При измерении волатильности трейдеры должны быть осторожны, чтобы избежать перекрытия (overlapping) данных. Кроме того, важна длительность периода, и рекомендуется выбирать как можно более короткий отрезок времени между точками выборки. На рис. 6.6 и 6.7 показано, что историческая волатильность движется сильнее подразумеваемой.
Корреляция еще более волатильна по сравнению с волатильностью и базовым активом. На рис. 6.8 и 6.9 представлена корреляция суточных движений в непересекающихся двухнедельных периодах.
Необязательно быть статистиком, чтобы понять, что корреляция постоянно изменяется.
В главе 15 будет подробно рассмотрено распределение с точки зрения ценообразования опционов.
На рис. 6.10 показано изменение исторической волатильности в неперекрывающихся (nonoverlapping) периодах, а рис. 6.11 иллюстрирует подразумеваемую волатильность.
Мастер опционов: объяснение растяжимого времени
В дискуссиях опционных трейдеров иногда противопоставляется экономическое и фактическое время. Это трудный вопрос, но он, похоже, должным образом учитывается рынками.
Торговля в выходные дни происходит не слишком часто. Предполагается, что рынки открыты примерно 247 дней (за исключением европейских стран с большим количеством праздников).
Трейдеры оценивают волатильность, используя базу 365 дней, но на самом деле корректируют ее, удаляя праздники. Например, если бы они решили установить цену на опцион вторника в пятницу, то использовали бы количество рабочих дней (2) и подогнали бы формулу, где фигурируют 5 дней, так, словно волатильность в течение следующих 5 дней достаточно низка, чтобы соответствовать реальным движениям. Если бы они предполагали, что волатильность составит 15,7 % на рынке за фактическое количество дней, то это был бы 1 % за 1 день, 1,41 % за 2 дня, 15,7 % за 1 год и т. д. Оператор в пятницу будет использовать волатильность, которая даст такой результат: 1,41 % за 4 дня, а именно 11,08 %
Более продвинутые методы предусматривают присвоение веса реальным дням и исходят из того, что воскресенье может быть источником волатильности, поскольку негативные внешние факторы могут возникать во время простоя. Многие операторы считают субботу и воскресенье четвертью дня зимой и еще меньше летом.
Некоторые трейдеры на самом деле оценивают
