В данном примере дельта не несет в себе никакого смысла. Некоторые трейдеры обходят дельту барьерного опциона, изменяя дату экспирации, как мы увидим в главе 20.
Общепринятое определение дельты:
F – производная F(U, t);
U – цена базового актива.
Это производная цены опциона к цене базового актива. Проще говоря, она соответствует изменениям цены опциона, возникающим в результате бесконечно малых изменений цены базового актива. Это понятие чрезвычайно полезно для математических выводов. С точки зрения торговли она не имеет никакого значения по следующим причинам:
● на рынке не существует бесконечно малых движений;
● даже если бы такие микроскопические движения существовали, то как фактический элемент торговли они никого бы не интересовали.
Для того чтобы математическая модель финансовой дельты непрерывного времени была актуальной, она должна сопровождаться второй производной, гаммой, и третьей, DgammaDspot. Кроме того, поскольку волатильность изменяется при движении рынков, необходимо добавить и вегу.
В реальном мире понятие модифицированной дельты кажется более адекватным решением. Она определяется следующим образом:
где Δ – изменение цены опциона, вытекающее из установленного изменения базовой ценной бумаги. Если при изменении базового актива с 100 до 100,1 цена колла изменяется на 0,05 пункта, то его дельта составляет 0,05/0,10 = 0,50, или 50 %.
Однако движение актива в одном направлении (вверх) необязательно является хорошим приближением поведения функции. Более эффективным инструментом станет использование следующей формулы:
где ΔU– и ΔU+ отражают соответственно движение базового актива вниз и вверх.
Можно увидеть результаты такой модификации: дельта должна зависеть от величины изменений в базовой ценной бумаге, т. е. ΔU. Шаг прироста остается на усмотрение оператора. Это могут быть как функция его кривой полезности, так и оценка будущей волатильности.
Преимущество использования дискретной дельты состоит в том, что она включает в себя немного второй и третьей производных, которые должны дополнять математическую дельту в любой форме анализа.
Пример: вводящая в заблуждение дельта. Предположим, что существует плоская кривая доходности и что форвард эквивалентен цене спот.
Все опционы являются европейскими и имеют месячный срок исполнения.
Опционный трейдер имеет следующую позицию:
● Длинная позиция $1 000 000 в 96 коллах (дельта 0,824, общая непрерывная дельта $824 000, и она длинная по знаку[139]).
● Короткая позиция $1 000 000 в 104 коллах (дельта 0,198, общая непрерывная дельта $198 000 – короткая по знаку).
● Его общая непрерывная дельта – длинная $626 000.
● Он может хеджировать ее, продав $626 000 в форвардах.
В табл. 7.1 показана результативность его позиции. Она демонстрирует положительную дельту позиции по всему диапазону, кроме точки исполнения около 100.
Очевидно, что график прибыли/убытка на рис. 7.2 похож на график прибыли/убытка простой длинной позиции, кроме начальной точки, которая никого не волнует. На семинаре по опционам, когда автор спрашивал присутствовавших, какую, на их взгляд, позицию отражает график – длинную, нейтральную или короткую, – все трейдеры отвечали, что длинную. Характерно, что не имеющие опыта торговли отвечали «нейтральная».
Получается парадокс: трейдер в примере выше покупает $550 000 наличными вместо $626 000. Ответы участников семинара в этом случае, показанные на рис. 7.3, распределились между «нейтральной», «короткой» и в нескольких случаях «длинной».
● Те, кто смотрел на экстремальные значения (цена актива 93 или 107), видели положительный график прибыли/убытка на восходящем тренде и отрицательный график прибыли/убытка при коррекции. Позиция, на их взгляд, казалась длинной.
● Те, кто смотрел на узкий диапазон (цена актива от 99 до 101), воспринимали позицию как короткую.
● Те, кто смотрел на средний диапазон (цена актива 95 или 103), считали позицию нейтральной.
Видно, что хедж, показанный на рис. 7.3 и в табл. 7.2, более эффективен, чем первый для более широких условий. Максимальный убыток снижается с –122 до –65. Максимальная прибыль снижается со 171 до 107. При широком наборе допущений позиция 2 является более дельта-нейтральной, чем позиция 1, хотя и кажется короткой с точки зрения дельты. Для Δ в размере 2,5 пункта максимум является полностью нейтральным. Таким образом, занятие этой позиции расширило нейтральный прирост до значений, которые кажутся приличным запасом.
Если бы автор cпросил участников семинара: «Как бы вы себя чувствовали, если бы существовала угроза ядерного удара?» – они, несомненно, ответили бы «в длинной позиции». А на вопрос «А если бы до нее оставалось шесть минут?» ответ был бы «в короткой». Это приводит к следующему правилу.
Правило управления рисками: дельта зависит от восприятия оператором будущей волатильности и его функции полезности, а также от возможной частоты корректировок.
Эти элементы становятся все менее значимыми с повышением ликвидности рынка.
Операторы вынуждены определять дельту как функцию приращений, которые имеют для них значение. Предыдущая позиция выглядела бы нейтральной, если бы масштаб прибыли/убытка был небольшим, но она потребовала бы внимания, если бы речь шла о миллионах. Операторы должны каким-то образом учитывать кривую полезности в торговле[140].
Дельта в качестве меры риска
Дельта не в состоянии адекватно измерить риски даже для простой позиции. Она одинаково характеризует риск и чрезвычайно рискованной, и чрезвычайно безопасной позиции.
Пример. Две позиции выражают одно и то же мнение о направлении рынка. Первая позиция длинная, другая – короткая. Первоначально у них одинаковая дельта.
Случай 1. Трейдер занимает длинную позицию в 1000 коллов.
Случай 2. Трейдер занимает короткую позицию в 1000 путов (с той же дельтой).
На рис. 7.4 и 7.5 показана разница в графике прибыли/убытка.
Сделки, представленные на рис. 7.4 и 7.5, имеют одну и ту же дельту – примерно $200 000. Из примера легко понять, почему дельта – это плохая аппроксимация риска.
Путаница: Дельта, выраженная через базовый актив, и дельта, выраженная через форвард
Дельта, выраженная формулой Блэка–Шоулза–Мертона, касается суммы денежных средств, которую оператор должен иметь в портфеле, чтобы компенсировать позицию опциона. Для всех европейских опционов, однако, реальная экспозиция вычисляется в форварде.
Тем не менее операторы предпочитают видеть дельту как наличность (базовый актив), т. к. они обычно хеджируют себя ею. Ее проще отслеживать в портфеле и проще получить ликвидные котировки на рынке. Когда операторы имеют дело с опционами на фьючерсы или используют фьючерсы в качестве хеджа, они должны использовать другую дельту, соответствующую точному периоду в будущем. Расчет разницы между ними иногда далеко не тривиальная задача. Операторам часто приходится иметь дело с подобными вопросами. Опцион, близкий к деньгам, оценивается в форварде по дельте 50 %. Какой будет дельта в наличных?
Ответ заключается в трансформации потенциальной будущей экспозиции в наличную экспозицию через дельту форварда. Это можно сделать путем дисконтирования форвардной экспозиции, используя в качестве коэффициента дисконтирования будущий рост стоимости денежных средств. Следовательно, дельта в наличных будет являться дисконтированным значением этого числа. Метод дисконтирования зависит от базовой ценной бумаги опциона, что будет описано позже.
Дельта для линейных инструментов
Необходимо изучать дельты для линейных инструментов, как в целях хеджирования фьючерсов форвардами или даже фьючерсов фьючерсами, так и в целях хеджирования с помощью опционов.
Для ознакомления с возможностями прямого арбитража трейдеры могут прочитать DeRosa (1992; 1996).
Дельта для форварда
Непроцентный актив. Общая формула расчета форварда для непроцентного актива:
F = ertS,
где F – форвард, S – цена спот, t – время до экспирации (т. е. t – t0), r – внутренняя ставка, rf – иностранная процентная ставка.
Валютные
