3. Умножение вероятностей: чтобы рассчитать вероятность одновременного возникновения двух независимых событий, нужно перемножить вероятности возникновения каждого из них по отдельности. Если вероятность того, что ребенок родится рыжим, равна 1/9, а вероятность рождения девочки равна 1/2, тогда вероятность того, что на свет появится рыжеволосая девочка, будет: 1/9 × 1/2 = 1/18. Если дважды подбросить монетку, то орел на ней выпадет два раза подряд в одном случае из четырех (1/2 × 1/2). Если подбросить монетку три раза, то вероятность получить трех орлов будет уже 1/8 (1/2 × 1/2 × 1/2). На рис. 5.8 изображены восемь равновероятных исходов трех бросков монетки, которые совершали один за другим. На нем видно, что три орла – один из восьми возможных результатов.
Рис. 5.8. Умножение вероятностей
4. Закон больших чисел: несмотря на то что в 50 % случаев итогом подбрасывания монеты должно стать выпадение орла, результатом каждого отдельного подбрасывания будет либо орел, либо решка – иными словами, либо 100 % орел, либо 0 % орел. Если подбросить монету в воздух дважды, то исходов может быть четыре: ОО, РР, ОР или РО, что соответствует 100 %-ному шансу выпадения орла, 100 %-ному шансу выпадения решки и 50 %-ному шансу выпадения орла/решки. Как видите, при небольшом количестве попыток или повторений реальные вероятности исходов могут значительно отличаться от ожидаемых. Однако вполне вероятно, что после нескольких тысяч подбрасываний монетки примерно в половине случаев вы получите орла и в половине – решку (рис. 5.9). Тем не менее вероятность того, что орел выпадет ровно в 50 % случаев, все еще крайне мала, но она будет где-то около этого значения, а с каждой новой попыткой вы станете подходить к нему ближе и ближе.
5. Обратная вероятность: вероятность того, что какое-то событие не произойдет, равна 1 минус вероятность того, что оно случится. Например, если вероятность выиграть в лотерею равна 1 %, значит, вероятность проиграть составляет 99 %.
Рис. 5.9. A-D. Закон больших чисел
6. Условная вероятность: достав из кувшина черный шар, вы не можете сказать наверняка, в какой пропорции смешаны белые и черные шары в кувшине. Однако если вы достанете 50 черных шаров подряд, то имеете право предположить, что все или почти все шары в кувшине черные и что следующий шар, скорее всего, тоже будет черного цвета (рис. 5.10).
Рис. 5.10. A-B. Шары в кувшинах. DALL-E
7. Базовый процент: в теории вероятности важны как абсолютные значения, так и их процентные изменения. Так для события, которое может произойти с вероятностью 5 %, 10-кратное изменение имеет очень большое значение, а вот для события, которое может произойти с вероятностью 0,001 %, такое же изменение малозначимо. В первом случае вероятность 5 % превратится в 50 %, а во втором 0,001 % станет 0,01 %, что все еще мало.
Если бы вам сказали, что Стив – тихоня, и попросили бы угадать, кем он работает – продавцом или библиотекарем, вы наверняка сказали бы, что он библиотекарь. Однако в США работает всего лишь 160 000 библиотекарей, а вот продавцов в стране в 100 раз больше, так что вероятность того, что Стив окажется застенчивым продавцом, гораздо выше (рис. 5.11)! Когда имеешь дело с теорией вероятности, самое главное – доверять имеющимся данным, т. е. если вероятность возникновения какого-то события крайне мала, это значит, что, несмотря на слухи и разговоры о нем, оно, скорее всего, не произошло!
Рис. 5.11. Ошибка базового процента. https://thedecisionlab.com/biases/base-rate-fallacy
Комментарий: почему же теория вероятности имеет такое большое значение? Потому что, в отличие от статистики, которая описывает уже произошедшие события и помогает понять, насколько важно учитывать их впоследствии, теория вероятности предоставляет целую систему, с помощью которой можно предсказывать, как события станут развиваться в будущем. И эта система применяется в играх, инвестициях, медицине и многих других профессиональных областях и сферах досуга. Приведем примеры:
1. Вероятность возникновения осложнений после проведения медицинской процедуры (например, биопсии при диагностировании рака) равна 1/20, а ложноположительный результат она дает в 1 случае из 10 (т. е. с вероятностью 10 % анализ покажет, что вы больны раком, даже если это на самом деле не так). При каких обстоятельствах лучше отказаться от этой медицинской процедуры?
В том случае, если вероятность обнаружения рака гораздо меньше риска пострадать от осложнений после процедуры.
2. Вы играете в пятикарточный покер. У вас на руках три дамы, но вы считаете, что для победы нужны четыре дамы. Какова вероятность, что вам удастся получить на руки еще одну даму?
Только одна из оставшихся 49 карт будет дамой, но у вас есть две попытки вытащить ее, так что вероятность успеха где-то 2/49 (или ~4 %).
3. Вы выбираете страховку для своей собаки. В среднем вы отводите своего питомца к ветеринару раз в год, и эта процедура обходится в $200. Также с вероятностью 1 % может понадобиться экстренно отвезти собаку в ветклинику, за что придется заплатить $10 000. Какую страховку вы оформите: ту, которая стоит $500 в год и покрывает все медицинские расходы, или ту, что стоит $100 в год, но в ее условиях прописан непокрываемый минимум $200 (т. е. все расходы стоимостью до $200 придется оплачивать самостоятельно), а еще она покрывает лишь 50 % чека за услуги ветеринара (это называют сострахованием)?
Итак, первая страховка обойдется вам в $500/год, и эта цена неизменна. Цена второй зависит от множества факторов, но в среднем должна быть примерно такой: $100 базовая ставка + $200 (та самая ежегодная поездка к ветеринару, которую страховая не покрывает, потому что она стоит $200) + $50 (1 % × $10 000 × 50 %) = $350/год. Как видите, второй вариант дешевле. Если же вообще отказаться от оформления страховки, вы потратите на питомца за год: $200 + $100 (1 % × $10 000) = $300/год, что еще выгоднее. Но в таком случае самое главное – чтобы цена экстренной поездки к ветеринару не превышала $10 000.
4. В сторону Земли несется огромный астероид. Какова вероятность того, что он врежется в нашу планету?
Это рассчитать очень трудно, но вы могли бы смоделировать все возможные траектории полета астероида, а потом посчитать, какие из них приведут к его столкновению с Землей. Если верить данным из интернета, вероятность того, что астероид врежется в нашу планету, составляет примерно 1 на 1 млн.
5. Руководство компании Ford размышляет, стоит ли отзывать из дилерских центров модель автомобиля, у которой обнаружился дефект в рулевом управлении. Аналитики компании рассчитали, что этот дефект встречается у 0,01 % автомобилей (т. е. в 10 машинах из 100 000) и что каждая такая поломка причинит компании ущерб в размере $500 000 (люди из-за нее вряд ли погибнут, но в аварии они попадать будут, а значит, Ford придется выплачивать владельцам автомобилей компенсации). Отзыв машин и замена в них систем рулевого управления обойдутся компании в $1500 за автомобиль. Как лучше всего поступить руководству Ford?
Если отбросить моральную сторону вопроса, отзыв всех автомобилей будет стоить Ford $15 млн, в то время как на компенсации пострадавшим уйдет лишь $5 млн. Следовательно,
