Общее решение y* найдем из уравнения, в которое превращается (5) при замене правой части на 0. В этом случае НОЛУ переходит в ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3):
(7)
Воспользовавшись методикой решения ОЛУ, описанной в разделе П1.3 Приложения, составим и решим характеристическое уравнение:
Чтобы определить принадлежность корней k 1,2 к действительным или комплексным числам, необходимо знать знак разности β2 – 4αγ. Для этого раскроем смысл постоянных коэффициентов α, γ и β.
Постоянная α появляется как коэффициент пропорциональности в уравнении (3), отвечающим за потенциальное действие рекламы. Отсюда смыл этого коэффициента заключается в том, что он обобщает собой условия, благоприятные для создания рекламы. Благоприятные потому, что, как видно из (3), чем больше значение α, тем больше a – потенциальное действие рекламы. В частности, α будет иметь малое значение в том обществе, в котором не используются современные рекламные технологии, и большое значение в противоположном случае.
Постоянная γ появляется как коэффициент пропорциональности в группе факторов F1. Чем больше значение γ, тем больше влияние F1 на а, и наоборот. Поэтому γ должна характеризовать степень доступности товара в данном регионе.
Постоянная β является коэффициентом пропорциональности в группе факторов F2. От ее значения зависит, как изменение дохода (dy/dt) среднего покупателя сказывается на восприятии им (покупателем) рекламы. Если β мало, то это означает, что изменение дохода мало влияет на величину F2. В частности, в странах с высоким уровнем жизни большинства граждан значение β должно быть достаточно малым.
Таким образом, в экономически развитых регионах α и γ должны иметь сравнительно большие значения, а β – малое. Поэтому β2 – 4αγ < 0, т. е. в выражении для k1,2 разность под корнем имеет отрицательный знак. Следовательно, k1,2 – комплексные:
где
(8)
Как видим, k1,2 соответствуют 4-му типу решения ОЛУ (см. Приложение, раздел П1.3). В этом случае решением уравнения (7) является выражение
y* = е– ηt (A1 cos δt + A2 sin δt), (9)
где A1 и A2 − константы интегрирования.
Частное решение y1 определим по виду правой части уравнения, в качестве которой в (5) выступает a/α. Последнее соответствует первому виду правой части НОЛУ (см. Приложение, раздел П1.4), а именно
f (t) = p (t) e γt. (10)
Действительно, для уравнения (5) функцию f (t) можно записать как
(11)
Сравнивая между собой (10) и (11), находим, что в нашей задаче
(12)
Напомним, что число, возведенное в степень, равно единице только в том случае, если степень равна нулю. Следовательно, γ = 0. Как видим, γ не совпадает с корнями характеристического уравнения k1,2. Поэтому для y1 выбираем первый тип решения (выбираем пункт 1.а из раздела П1.4 Приложения):
y1 = q(t) eγt = q(t)
(eγt = 1, см. (12)). Определим вид q (t). Для этого учтем, что: а) q (t) – многочлен той же степени, что и р (t); б) в нашем случае р (t) – многочлен нулевой степени:
Следовательно, и q(t) является многочленом нулевой степени, т. е. является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную, например, с: q(t) = c. Тогда
y1 = q(t) = c. (13)
Постоянную с найдем, подставив y1 в (5):
Воспользуемся (13):
Здесь мы учли, что
Найденное значение с подставим в (13):
– частное решение уравнения (5). Его общее решение запишем по формуле (6) (y* возьмем из (9)):
(14)
Выражение в скобках можно упростить, заменив постоянные A1 и A2 на новые постоянные A и φ0 по формулам
A1 = A sin φ0 и A2 = A cos φ0
(легко увидеть, что ). Тогда
A1 cos δt + A2 sin δt = A (sin φ0 cos δt + cos φ0 sin δt) = A sin (δt + φ0).
В результате (14) примет вид
(15)
Уравнение (15) представляет собой формулу зависимости от времени количества товара, приобретаемого благодаря действию рекламы.
Из (15) следует, что если рекламировать товар с постоянной интенсивностью достаточно долго (a = const), то начнутся колебания y вокруг постоянного значения a/γ, т. е. возникнет чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы (см. рис. 1).
Сравним (15) с известным законом колебательного движения
x = A sin (ωt + φ0).
Как видим, δ совпадает по смыслу с циклической частотой ω. Отсюда, воспользовавшись соотношением для периода колебаний T = 2π/ω, получаем формулу для промежутка времени положительного восприятия рекламы:
где δ вычисляется из (8). Для определения численных значений коэффициентов, входящих в (8), возможно использование эконометрических методов.
Рис. 1. Чередование периодов положительного и отрицательного восприятия рекламы
Глава 2
Приложение дифференциального исчисления для анализа устойчивости систем
К настоящему времени в экономике системные закономерности наиболее подробно рассмотрены в математических моделях экономического роста крупных регионов, например городов, областей, государств (см., например, [7,14]). При этом в качестве переменных величин, как правило, выбирались национальный доход, капитал, средний уровень зарплаты, цены и т. п. Модели таких систем характеризуют результаты согласованного поведения большого количества фирм, входящих в регион. В данной главе будет проведен анализ поведения отдельной фирмы, для которой экономика региона играет роль внешней среды.
Мы рассмотрим фирму, обладающую следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников и величиной оборотного капитала. Главная задача данного раздела – раскрыть важную роль управляющих параметров, которую они играют при выборе системой пути к тому или иному устойчивому состоянию.
Вначале мы построим общую математическую модель поведения средней фирмы. Затем в качестве примера найдем устойчивые состояния предприятия, занимающегося конкретным видом деятельности, например страхованием.
2.1. Анализ устойчивости фирмы, средней (в некотором регионе) по числу сотрудников и оборотному капиталу
(Изложение данного раздела следует работам [26, 28].) Пусть в фирме работает Y1 сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется Y2. Необходимо определить, возможно ли в такой системе устойчивое состояние и какому типу устойчивости оно соответствует?
Поиск устойчивых стационарных состояний проведем с помощью линейного анализа устойчивости. Для этого воспользуемся его схемой (см. Приложение П2.2).
2.1.1. Начнем с составления эволюционного уравнения. Левая часть эволюционного уравнения представляет собой производные первого порядка от величин, принятых в качестве переменных (см. (П6)3). В нашем случае речь идет о Y1 и Y2:
– скорость роста числа сотрудников;
– скорость увеличения капитала фирмы.
Сформулируем первую главную пропорцию4:
скорость роста числа сотрудников (dY1/dt) пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся.
При этом количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы (~Y2, так как в среднем люди предпочитают работать в более богатой фирме), а количество уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся (~Y1). Заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, первую главную пропорцию приводим к следующему уравнению:
(16)
где α – коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; γ – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят).
