2.2. Математическая модель устойчивости страховой фирмы
На примере предприятия, занимающегося конкретной деятельностью, мы продемонстрируем возможности линейного анализа устойчивости для математического моделирования экономической системы.
Поставим перед собой задачу определить устойчивые состояния страховой фирмы, а также экономические показатели, от которых зависит устойчивость такой фирмы [5, 30].
Важнейшей целевой функцией любой фирмы является прибыль. Согласно классическому определению, прибыль (Y) представляет собой разность между доходом (D) и расходом (R): Y = D – R. Специфика страховой фирмы проявляется в составляющих ее дохода и расхода. Введем следующие обозначения:
N – количество клиентов;
s – страховой взнос клиента;
p – размер страховой выплаты клиенту;
Q* – количество страховых выплат.
Тогда доход фирмы равен sN, а расход – pQ*. В результате приходим к известному уравнению, характеризующему суть страхового бизнеса:
Y = sN – pQ*. (21)
2.2.1. Модель государственной страховой фирмы
Характерной особенностью государственной страховой фирмы является требование всеобщего страхования (например, в рамках конкретного страхового профиля), т. е. N = const.
В качестве переменной задачи выберем прибыль страховой компании Y. Сформулируем главную пропорцию: прирост прибыли dY/dt (увеличение прибыли с течением времени t) пропорционален числу клиентов, а также величине самой прибыли, если часть прибыли вкладывается в какие-нибудь доходные предприятия (~ NY). Кроме того, следует отнять ту часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~ Q*). Уравнение, соответствующее данной пропорции, примет вид
(22)
где знак пропорции ~ мы заменили коэффициентами пропорциональности α и ε.
Выразим Q* из (21)
Подставив это выражение в (22), получим
и окончательно
(23)
– эволюционное уравнение государственной страховой фирмы. В (23) введены обозначения: λ = ε/p; δ =εs/p.
Стационарное решение Yст уравнения (23) найдем из условия (П8) (dYст/dt = 0):
0 = Ycт (α N + λ),
откуда
– стационарное значение прибыли в государственной страховой фирме.
Зададим возмущение y для Yст. Поскольку в задаче только одна переменная, а именно Y (прибыль), то закон изменения возмущения с течением времени (П13) запишется в простом виде
y = c exp (ωt).
Характеристическое уравнение (П14) также сильно упрощается:
a11 – ω = 0,
Следовательно, ω = a11 и
y = c exp (a11 t). (24)
где a11 вычисляется по формуле (П12). В этой формуле перейдем к обозначениям без индексов, так для одной переменной в них нет смысла:
(25)
где F – правая часть эволюционного уравнения (23). Все величины в (25) положительные (в частности, из (22) видно, что прибыль фирмы будет увеличиваться, т. е. dY/dt > 0, если коэффициент пропорциональности α положителен). Следовательно,
a11 > 0.
Как видим, возмущение y из (24) увеличивается с течением времени. Последнее означает, что Yст является неустойчивым.
Таким образом, в рамках рассмотренной модели стабильное получение прибыли государственной страховой фирмой возможно лишь в сильно консервативном обществе, когда возмущение, создаваемое конкуренцией на рынке, отсутствует.
2.2.2. Модель частной страховой фирмы
Характерной особенностью частной страховой фирмы является зависимость числа клиентов от времени. Следовательно, в этой модели число клиентов N необходимо учитывать в качестве переменной, которую обозначим как Y1. Как и в предыдущем случае, прибыль страховой фирмы является переменной величиной, ее мы обозначим Y2.
2.2.2.1. Главные пропорции частной страховой фирмы можно сформулировать следующим образом.
1. Прирост клиентов dY1/dt пропорционален размеру получаемой прибыли Y2 (средний клиент предпочитают иметь дело с более богатой фирмой), среднему в данном регионе доходу клиента D0 и среднему в данном регионе количеству несчастных случаев Q (~Y2D0Q). Отрицательная составляющая пропорции обусловлена теми клиентами, которые по каким-то причинам отказались от услуг фирмы (математически количество таких клиентов составляет некоторую долю от общего числа клиентов, которая статистически тем больше, чем больше у фирмы клиентов), т. е. отрицательная составляющая ~Y1.
2. Прирост прибыли dY2/dt пропорционален числу клиентов Y1, а также той части прибыли Y2, которую фирма вкладывает в доходные предприятия (~Y1Y2). Отрицательная составляющая представляет собой часть прироста прибыли, которую фирма не дополучила из-за выплат клиентам (~Q*).
Заменив знак пропорции ~ на коэффициенты пропорциональности α, γ, µ и β, придем к следующей системе двух уравнений
или
где c = αD0Q.
Количество страховых выплат Q* найдем из (21) (напомним, что в данной модели в роли Y выступает Y2, в роли N выступает Y1):
Подставим это выражение в (26)
(27)
где введены обозначения σ = β/p; η = βs/p.
Выражение (27) представляет собой систему эволюционных уравнений частной страховой фирмы (сравните с (П6)).
2.2.2.2. Найдем стационарное решение. Для этого к (27) применим условие (П8):
Как видим, второе уравнение дает для Y2ст два значения:
С учетом первого уравнения приходим к двум стационарным решениям (стационарным состояниям фирмы):
(28)
2. Y1ст = Y1ст = 0. (29)
2.2.2.3. Чтобы проверить данные стационарные решения на устойчивость, необходимо задать их возмущения. Затем следует проанализировать, как возмущения изменяются с течением времени: если уменьшаются, то состояние устойчиво, если увеличиваются, то неустойчиво.
Учтем, что наша модель содержит две переменные Y1 и Y2. Благодаря этому процесс выяснения устойчивости упрощается. Мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарные решения (28) и (29) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a11, a12, a21 и а22. Их мы найдем с помощью (П12), в которой Fi возьмем из системы эволюционных уравнений (27) нашей задачи.
Согласно (П12),
(30)
(31)
(32)
(33)
1. Вначале проверим на устойчивость решение (28). Для этого его следует подставить в полученные выше выражения для а21 и а22. В результате найдем
По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:
Чтобы определить их знаки, проведем сравнительную оценку величин коэффициентов γ, σ, η и с.
Коэффициент γ характеризует долю клиентов, решивших расторгнуть страховые отношения с данной фирмой (см. формулировку первой главной пропорции в 2.2.2.1). Если фирма не банкрот, то γ должна быть малой величиной.
Напомним, что σ = β/p, при этом p – размер страховой выплаты клиенту, т. е. большая величина. Поэтому мы полагаем σ малой величиной.
Так как η = s β/p, т. е. в s раз больше, чем σ, то η полагаем сравнительно большой величиной (напомним, что s >>1).
Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D0 (D0 > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).
