Cформулируем вторую главную пропорцию:
скорость увеличения капитала пропорциональна прибыли от вложения капитала минус расходы на сотрудников.
При этом прибыль от вложения капитала пропорциональна величине вложенного капитала (~Y2), а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству (~Y1). Так же заменяя знаки пропорции (~) на коэффициенты пропорциональности, вторую главную пропорцию приводим к уравнению:
(17)
где µ – коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность работы фирмы на рынке; β – коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе среднюю величину затрат фирмы на одного сотрудника.
2.1.2. Эволюционным уравнением задачи является система уравнений (16) и (17), так как она удовлетворяет общему виду (П6) эволюционных уравнений:
Применив к (18) условие (П8), найдем стационарное решение:
Y1ст = Y2ст = 0. (19)
2.1.3. Обратите внимание: наша модель средней фирмы имеет две переменные Y1 и Y2. Следовательно, мы можем воспользоваться результатами Приложения П2.3, полученными для системы, так же с двумя переменными. В частности, чтобы проверить стационарное решение (19) на устойчивость, достаточно определить соотношение знаков у величин B, ∆ и D. Последние вычисляются по формулам (П22). В эти формулы входят четыре коэффициента линейного разложения: a11, a12, a21 и a22. Их мы найдем с помощью (П12), в которой Fi возьмем из системы эволюционных уравнений (18) нашей задачи.
Итак, согласно (П12),
В первом слагаемом берется частная производная по переменной Y1 от выражения αY2, которое, как видим, не содержит Y1, поэтому, согласно правилу вычисления частной производной, это выражение считается постоянным и производная от нее равна нулю. Во втором слагаемом производная берется от выражения γY1, которое считаться постоянным не может, так как содержит Y1. Поэтому дальнейшие вычисления для a11 примут вид
Аналогично рассуждая, находим остальные коэффициенты линейного разложения:
Подставив найденные значения a11, a12, a21, и a22 в (П22), получим
(20)
2.1.4. Для средней фирмы коэффициенты α и β должны быть сравнительно большими, так как оба относятся к расходам на сотрудников, а коэффициент µ и γ, наоборот, не должен быть большими потому, что, во-первых (в случае µ), у средней фирмы прибыль от операций на рынке не является слишком высокой, иначе бы фирма была богатой, а не средней; и во-вторых (в случае γ), в цивилизованном обществе в средней фирме текучесть кадров невелика.
С учетом сказанного из формул (20) можно точно определить знаки величин ∆ и D. Действительно,
а) произведение больших коэффициентов α и β заведомо больше, чем произведение малых µ и γ, поэтому∆ > 0;
б) квадрат разности малых µ и γ есть очень маленькая величина, поэтому D < 0.
В отношении же B однозначного ответа нет: и µ, и γ – оба малые. Следовательно, мы приходим к двум возможным ситуациям: µ > γ и µ < γ.
Ситуация 1: µ > γ. Это означает, что коэффициент γ – невелик, и причин для увольнения мало.
В этой ситуации знаки величин из (20) распределятся следующим образом:
Такое сочетание знаков совпадает с (П30). В этом случае стационарное решение (19) соответствует неустойчивому фокусу. Фазовая траектория в координатах Y1 и Y2 представляет собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).
Раскручивание спирали указывает на рост числа сотрудников Y1 и капитала Y2. Но ввиду разновеликости коэффициентов β и µ (β > µ) наступает момент, когда во втором уравнении системы (18) в правой его части первое слагаемое окажется меньше второго и прирост капитала dY2/dt станет отрицательным. На практике это выглядит так, что по мере роста числа сотрудников наступает момент, когда их становится настолько много, что фирма уже не может достойно (по мнению сотрудников) оплачивать их труд. Сотрудники увольняются. Последнее дает увеличение γ. И тогда фирма оказывается в ситуации 2.
Ситуация 2: µ < γ.
Соответствующее распределение знаков величин из (20) имеет вид
Данное выражение совпадает с (П25). В этом случае стационарное решение (19) является устойчивым фокусом, а фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (рис. П2). Следовательно, число сотрудников Y1 уменьшается.
Но опять-таки из-за разновеликости β и µ неизбежно наступит момент, когда, начиная с некоторого значения Y1, прирост капитала dY2/dt из (18) окажется положительным. При этом причин для увольнения станет меньше (сотрудников останется настолько мало, что фирма сможет достойно оплачивать их труд). Как следствие, значение коэффициента γ понизится. Это приведет фирму снова к ситуации 1. Затем все повторяется.
2.1.5. На рис. 2 показана «сшивка» эволюционных диаграмм двух описанных ситуаций. Линией с пониженной яркостью обозначены фазовые траектории переменных Y1 и Y2. Огибающие этих траекторий выделены.
Как видно из рисунка, существует пороговое значение числа сотрудников Y1*, при пересечении которого меняется направление движения системы по осям. В точке Y1 = Y1* действия спиралей устойчивого и неустойчивого фокусов взаимно уравновешиваются. Благодаря этому фазовая диаграмма в координатах Y1 и Y2 приобретает вид замкнутой траектории и соответствует устойчивому предельному циклу (см. рис. 19).
Вывод о существовании здесь предельного цикла также следует из применения теоремы Пуанкаре − Бендиксона. Согласно этой теореме, если некоторая полутраектория остается внутри конечной области и не касается каких-либо особых точек, то эта полутраектория является предельным циклом, при этом внутренняя граница области может быть стянута в точку-источник (см., например, [19]). В рассматриваемой задаче неустойчивый фокус выступает в роли источника, а устойчивый фокус ограничивает систему сверху.
Таким образом, фирма с течением времени стремится к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимального числа сотрудников Y1* (рис. 3). Это оптимальное число сотрудников зависит от соотношения величин β и µ − соответственно коэффициента затрат на сотрудников и коэффициента, связанного с прибылью.
Рис. 2.
Рис. 3. Колебания числа сотрудников фирмы вокруг оптимального значения Y1*
2.1.6. Система уравнений (18) была записана в предположении, что коэффициент γ является постоянной величиной. В связи с этим необходимо сделать следующее замечание. Как мы видели, в каждой из описанных ситуаций всегда наступал такой момент времени, когда γ изменялся. Этот факт явно указывает на зависимость данного коэффициента от времени. Однако на практике временной промежуток, в течение которого γ изменяется заметно, оказывается значительно меньше, чем длительность существования фирмы в любой из ситуаций. Поэтому мы имели полное право в пределах отдельной ситуации полагать γ постоянным.
2.1.7. Основанная на линейном анализе устойчивости методика поиска устойчивых состояний является общей для систем, имеющих различную природу. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в разделе 2.3 рассмотрена задача, в которой так же осуществлен поиск асимптотически устойчивого стационарного состояния (т. е. аттрактора, см. раздел П5.6), но теперь уже в физической системе – генераторе Ван дер Поля. Генератор Ван дер Поля представляет собой колебательную систему с нелинейными свойствами и часто используется в теоретических исследованиях, связанных с электроникой. Как показано в разделе 2.3, в пространстве двух переменных устойчивым стационарным состоянием генератора является предельный цикл.
