выходов на посадку, графики профилактического обслуживания, планирование меню, планирование обучения, оформление и обработка багажа – все это задачи на оптимизацию, решаемые с помощью линейной алгебры[91]. Не забудьте поблагодарить линейную алгебру, когда в следующий раз получите питание на борту[92].
FedEx и UPS применяют линейную алгебру для поиска оптимальных программ прокладывания маршрутов для доставки отправлений. Не стоит забывать также о шопинге и его логистике: как осуществляется доставка товаров в ваш супермаркет и как продукты попадают к вам домой, если вы покупаете их онлайн? И здесь на помощь приходит линейная алгебра. Ей также находится применение в здравоохранении: расписание операций, назначение хирургов, планирование визитов к врачам и доставка медикаментов – это современные вариации задачи об организации копейщиков и алебардистов, находящихся у вас в распоряжении. Даже то, каким образом результаты поиска в Google выводятся на экран вашего компьютера, – логистика маршрутизации информации в интернете – определяется линейной алгеброй. Да, сегодня все это по большей части уже прописано в программах, подобно тому как тригонометрия запрограммирована в системах автоматизированного проектирования, которыми пользуются архитекторы. И все же ваша повседневная жизнь не обходится без линейной алгебры. Беспрецедентной легкостью современной жизни мы во многом обязаны математикам, которые нашли алгебраические решения почти для всех наших логистических проблем.
Можно даже сказать, что только благодаря линейной алгебре человечество и сумело дожить до XXI века, не уничтожив себя. Холодная война – 44 года опасного, но все-таки по большей части мирного противостояния США и СССР – во многих отношениях может считаться детищем этой области математики.
По окончании Второй мировой войны, когда отношения между США и СССР свелись к тихим угрозам взаимного ядерного уничтожения, математики по обе стороны конфликта посвятили себя поиску путей к тому, чтобы эти угрозы никогда не исполнились. Самым известным из них был Джон Форбс Нэш, о котором написана книга “Игры разума”, а также снят одноименный оскароносный фильм с Расселом Кроу. В фильме показано, как Нэш постепенно сходил с ума и какое влияние психическая болезнь оказывала на его семью и карьеру. К несчастью, за кадром остается то, каким образом его труды – и труды множества других ученых – не позволили нам провалиться в бездну полномасштабной ядерной войны.
Возможно, вам знакома фраза “гарантия взаимного уничтожения”. Казалось бы, при таком условии избежать ядерной войны несложно: если обе стороны накопят достаточное количество ядерного оружия – которое, кстати, создается с помощью абстрактной алгебры, – никто не захочет наносить первый удар, поскольку ядерный ответ и последующая серия ударов сделают планету непригодной для жизни. Однако на деле все оказывается гораздо сложнее.
Задействованная здесь алгебра входит в область исследований, называемую теорией игр. Несмотря на фривольное название этой сферы, работавших в ней математиков всегда воспринимали всерьез. В эпоху, когда никому не позволялось встречаться с коллегами по другую сторону “железного занавеса”, обе стороны понимали, что вероятность взаимного уничтожения снизится, если дать этим математикам возможность поговорить друг с другом. В 1971 году в Вильнюсе, в Литве, состоялась беспрецедентная встреча специалистов по теории игр из Америки, Европы и Советского Союза. Прошел всего год с момента подписания СССР, США и другими странами Договора о нераспространении ядерного оружия. Все стороны хотели сохранить мир, и для этого им в том числе необходимо было организовать такую встречу для своих математиков[93].
Здесь невозможно описать, какой вклад в математику они внесли. Многие их выкладки настолько сложны, что их подробно не объясняют даже студентам-математикам, пока они учатся на младших курсах. Одни из них связаны с выработкой наилучшего ответа на угрозу при всех смягчающих обстоятельствах. Другие – с оптимизацией объемов ядерных запасов в условиях взаимного недоверия. Третьи позволяют понять, в разработку каких контрмер стоит вкладываться и как именно их применять.
В разные годы над алгеброй гонки вооружений поработало немало математиков, но Джон Нэш стоит на ступеньку выше всех остальных. Дело в том, что он доказал существование знаменитого “равновесия Нэша” – алгебраического способа найти лучшее решение дилеммы в условиях, когда две стороны не доверяют друг другу. В нем задействуется сложная форма линейной алгебры и описывается сценарий, в котором противники оказываются в ситуации, когда ни один из них не может улучшить свое положение. Равновесная стратегия может быть неоптимальной для конкретного игрока, но при этом единственной, в которой ситуация не становится хуже. Равновесие Нэша не удовлетворяет ни одну из сторон, но все-таки ни одна из сторон не собирается ничего предпринимать, поскольку сложившееся положение – меньшее из зол.
Выявив условия для существования равновесия Нэша и описав стратегии, которые позволяют к нему прийти, Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике и вошел в историю, хотя его вклад и остается недооцененным. Нэш предоставил обеим сторонам конфликта в холодной войне неопровержимое доказательство того, что им следует смириться с прохладной разрядкой и больше не предпринимать никаких шагов. По сути, он сделал мир безопаснее с помощью алгебры. Сдается мне, Никколо Тарталье это пришлось бы по нраву.
Последняя теорема Ферма
В заключение мне хочется заверить вас, что порой даже простейшая на первый взгляд алгебра заводит профессиональных математиков в тупик. Возможно, вы слышали о последней теореме Ферма? Описать ее очень просто, однако на поиск решения у человечества ушло несколько сотен лет.
Французский математик Пьер Ферма был великим ученым, но отказывался публиковать свои работы. После смерти Ферма в 1665 году его сын Самуэль решил собрать все бумаги отца и опубликовать наиболее значимые выводы. Просматривая экземпляр “Арифметики” Диофанта из отцовской библиотеки, Самуэль обнаружил на полях заметку на латыни. В ней говорилось: “Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него”.
Сегодня мы записываем утверждение Ферма следующим образом: в уравнении
xn + yn = zn
невозможно найти x, y и z при n больше 2, если считать, что корнями могут быть только целые числа, отличные от нуля.
Ферма утверждал, что может доказать различные теоремы, и во множестве других заметок, и математики, изучавшие его бумаги, в конце концов смогли найти все доказательства, за исключением доказательства, связанного с уравнением Диофанта. Так эта задача и стала называться последней теоремой Ферма.
Сразу ясно, что при n = 2 у нас получится пифагоров треугольник со сторонами 3, 4 и 5, поскольку 32 + 42
