на самом деле. Дело в том, что во второй половине XVII века долгий и ожесточенный диспут Исаака Ньютона и немецкого ученого-энциклопедиста Готфрида Лейбница так и не пришел к удовлетворительному разрешению. Впрочем, ни один из этих ученых не начинал с нуля. Даже если не брать в расчет работу Кеплера о винных бочках, в первой половине века Пьер Ферма занимался вычислением площадей под кривыми и находил максимумы и минимумы этих кривых. Как мы увидим, это неотъемлемые компоненты математического анализа, и сам Ньютон утверждал, что пришел к его ранней форме “от предложенного Ферма способа построения касательных”. Рене Декарт, услышав это, перевернулся бы в могиле, ведь он сам провел подобную работу и долго спорил с Ферма о том, кто все-таки был первым. Но итальянский математик Бонавентура Кавальери также работал с бесконечно малыми величинами, закладывая фундамент для трудов Лейбница и Ньютона, и тем же занимался английский ученый Джон Валлис, который обобщил свои выводы в книге “Арифметика бесконечного”, опубликованной в 1656 году. Иными словами, Лейбниц и Ньютон превзошли на этом поприще прочих, но сами при этом отталкивались от работ множества других ученых. Но хватит споров – пора переходить к делу.
Производные для ВИЧ
Математический анализ, по сути, продолжает алгебру: это набор инструментов для изучения прямых и кривых, задаваемых алгебраическими выражениями. Впрочем, в школе нам не всегда об этом рассказывают, и мы знакомимся с математическим анализом лишь как с рядом правил для выполнения абстрактных задач. Например, мы учимся вычислять кривизну графика по квадратному уравнению, не понимая толком, зачем нам вообще это нужно. Начнем с одного практического применения математического анализа: вычисления тангенса угла наклона, или крутизны, кривой, показывающей распространение смертельной инфекции по человеческому организму. Как выяснилось, в этой сфере математический анализ сыграл важную роль, защитив нас от особенно опасных вспышек вируса иммунодефицита человека (ВИЧ).
Легко забыть, как плохи были наши дела в те годы, когда ВИЧ был максимально опасен. После регистрации первых случаев заражения в 1981 году ВИЧ быстро стал бичом человечества по всему миру. К 2007 году ВИЧ/СПИД убил уже более полумиллиона американцев, но США все еще отказывались признать, что в стране есть люди, зараженные вирусом. В 2009 году в Вашингтоне ВИЧ был более распространен, чем в Западной Африке – на 3 %, – и департамент здравоохранения округа Колумбия сообщил, что развивается “тяжелая и генерализованная эпидемия”[106].
Сегодня, чуть более десятилетия спустя, ВИЧ уже не смертный приговор. Люди с ВИЧ живут относительно нормально. Что же случилось? Математический анализ.
В 1989 году Алан Перельсон с помощью математического анализа построил модель поведения ВИЧ в человеческом организме и показал, как вирус борется с иммунной системой человека[107]. Он упростил ситуацию всего до четырех дифференциальных уравнений, описывающих, что происходит в организме при постепенном изменении концентрации вируса в крови в отсутствие лечения. Дифференциальные уравнения предполагают проведение “дифференцирования”, лежащего в основе математического анализа. По сути, это определение темпов изменения чего-либо в конкретной точке.
Крутизна меняется при движении по склону
Можно также представить дифференцирование как способ вычислить, какое усилие необходимо для того, чтобы взбежать на холм. Бег вверх по склону, как на рисунке, требует разных усилий на разных участках пути. Сначала склон крутой, а затем становится более пологим. Склон холма – это кривая с рядом разных углов наклона: сначала они велики, но уменьшаются по мере вашего продвижения по холму. Дифференцирование позволяет определить, какое усилие вам необходимо приложить в конкретной точке склона, чтобы взбежать на холм.
Сначала, как правило, берется алгебраическая функция, задающая кривую. Чтобы вычислить кривизну склона, нужно определить “отношение приращения функции к приращению ее аргумента”: вертикальное изменение y (обозначается dy), происходящее при горизонтальном изменении x (dx). Затем кривизна определяется как приращение функции, деленное на приращение аргумента: dy/dx. Иногда это называют производной функции, задающей кривую. Найти производную несложно, когда речь идет о прямых. Но как быть с кривой вроде той, что показана на рисунке?
Эта кривая задается уравнением:
y = x2
Крутизна кривой – это приращение функции (dy), деленное на приращение аргумента (dx)
Как мы видим, кривизна может быть разной в разных точках кривой. Из-за этого вычислять ее в некоторой точке x сложнее, чем работая с прямой, кривизна которой всегда одинакова. Поскольку вычислить кривизну значит определить приращение функции и приращение аргумента, нам нужны две разные точки: приращение аргумента оценивается от одного значения x до другого неподалеку, а приращение функции эквивалентно изменению значения y при движении от одного значения x к другому. Но кривизна кривой в двух разных точках будет немного отличаться. Какое же значение нам нужно?
Для решения этой проблемы применяется фокус, который позволяет свести разницу между двумя точками к минимуму, то есть сделать ее бесконечно малой. Способ не самый простой, но давайте разберемся, что здесь к чему, чтобы понять, откуда взялось общее правило, с которым вас познакомили в школе.
Продолжим работать с функцией y = x2. Мы хотим найти ее производную – кривизну – в некоторой точке x. Чтобы получить горизонтальное “приращение аргумента” для вычисления кривизны, мы пройдем от точки x до соседней точки x + dx. Подчеркну: значение dx здесь крошечное. Подставив второе значение x в уравнение функции, мы получим y + dy, вторую точку приращения функции в промежутке между двумя точками приращения аргумента. Поскольку кривая задается уравнением y = x2 (иными словами, x умножить на x), y + dy равняется (x + dx) умножить на (x + dx).
Далее нам нужно раскрыть скобки, перемножив каждое из слагаемых в первых скобках с каждым из слагаемых во вторых. Получим:
y + dy = x2 + xdx + xdx + dx2
Как помните, dx – это крошечная доля x. Это значит, что dx2 равняется квадрату этой крошечной доли, а следовательно, эта величина еще меньше. Она настолько мала, что мы даже можем ею пренебречь. Получим вторую точку:
y + dy = x2 + 2xdx
Чтобы вычислить кривизну, нужно знать приращение функции от y до y + dy. Первая точка у нас задавалась уравнением y = x2, вторая – уравнением y + dy = x2 + 2xdx. Следовательно, приращение функции dy, то есть разница между двумя этими точками, равняется 2xdx.
Приращение аргумента – это разница между
