парадоксом движения, сформулированным Зеноном Элейским. Парадокс Зенона дошел до нас во множестве форм, и Толстой выбрал вариацию с Ахиллесом и черепахой. Ахиллес и черепаха бегут наперегонки, но у черепахи – фора. Ахиллес при этом бежит в десять раз быстрее черепахи. И все же, утверждает Зенон, Ахиллес не сможет догнать черепаху.
Причина проста. Ахиллесу нужно некоторое время, чтобы преодолеть расстояние, отделяющее его от черепахи. За это время черепаха продвигается дальше – всего на одну десятую того расстояния, которое преодолел Ахиллес, – и оказывается вне досягаемости героя. Теперь Ахиллесу нужно преодолеть оставшееся расстояние, но черепаха опять сдвигается вперед. “Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его”, – отмечает Толстой. Иными словами, Ахиллес, похоже, и правда никогда не догонит черепаху.
Разумеется, это абсурд. Ахиллес, несомненно, догнал бы – и обогнал бы – черепаху. Толстой поясняет, что проблема рассуждений Зенона в том, что в них не учитывается бесконечность. “Только допустив бесконечно-малую величину… мы достигаем решения вопроса”. Если разделить этапы непрерывного движения на бесконечно малые фрагменты (то есть на фрагменты, минимально отличные от нуля) и допустить бесконечное количество шагов, Ахиллес все же догонит черепаху. В этом бесконечном делении и кроется суть математического анализа.
К бесконечности
Поскольку понятие бесконечности лежит в основе математического анализа, нам стоит сделать паузу и уделить ему внимание. Важнее всего отметить, что бесконечность – это понятие, а не число. Еще на детской площадке мы убедились в том, что всегда найдется число побольше, чем названное тобой. Бесконечность – это своего рода кодовое обозначение предельной точки последовательности, которая никогда не кончается.
При этом бесконечность остается элементом математического числового ландшафта. Так, существует бесконечное число натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4…). Существует и бесконечное число четных чисел. И бесконечное число нечетных. Уверен, это не покажется вам странным по существу. Странно то, что с математической точки зрения три этих бесконечности одинаковы по размеру, хотя количество натуральных чисел должно равняться сумме всех четных и нечетных чисел.
Впрочем, некоторые бесконечности действительно больше других. Например, в 1874 году математик Георг Кантор доказал, что “действительных” чисел больше, чем натуральных. Иными словами, он продемонстрировал, что бесконечность всех целых чисел и всех дробей, находящихся между ними, больше, чем бесконечность одних целых чисел. Позже он показал, что существуют и бо́льшие бесконечности – и их бесконечно много. И после этого у него случился нервный срыв.
Если вас беспокоит бесконечность бесконечностей, пусть утешением вам послужит то, что большинство современников Кантора тоже не хотели и не могли постичь эту идею, – и причиной его нервного срыва стали не сами выкладки, а неприятие его трудов. Однако, как мы уже говорили, человеку не свойственно мыслить таким образом. Для этого нужно прикладывать невероятные усилия. Если нам от природы недоступен даже счет дальше трех, то готовность упорно идти вперед, к бесконечности бесконечностей, которую невозможно в полной мере постичь, заслуживает восхищения.
Если вы в состоянии продолжить, давайте обсудим еще одну умопомрачительную вещь, прежде чем перейдем к самому математическому анализу: мы можем также идти по бесконечности и в обратную сторону. Как мы упоминали, наряду с бесконечно большим есть и бесконечно малое. Или стремящееся к нулю.
Представьте, что режете огурец на все меньшие и меньшие кусочки. Сначала разрежьте его пополам, затем разделите половину на две четверти. После этого возьмите одну из четвертей и разрежьте ее на две восьмых от целого огурца. Возьмите одну восьмую и продолжайте резать. В конце концов – в теории – у вас получится такой маленький кусочек, что описать его не получится никаким числом, даже дробным. Это и есть бесконечно малое: то, что стремится к нулю, но нуля не достигает. Меньше только пустота. Меньше бесконечно малого лишь сам ноль. Деля на бесконечно малые единицы время, расстояние и что угодно еще, мы работаем в сфере математического анализа.
Первым это попытался сделать немецкий астроном Иоганн Кеплер. Но цель его состояла не в том, чтобы расширить наши представления о звездах. Он хотел сэкономить деньги на собственной свадьбе[105].
В 1613 году Кеплер женился во второй раз. Свадьба состоялась в австрийском городе Линце, и Кеплер договорился, чтобы виноторговец доставил на торжество бочку вина. Но его поразило то, каким образом торговец рассчитал стоимость бочки. Сначала он положил бочку на борт отверстием вверх. Затем он вставил в отверстие палку и протолкнул ее вниз и вбок, пока палка не соприкоснулась с местом, где борт соединяется с днищем. Стоимость вина зависела от того, какая часть палки увлажнится вином в бочке.
Кеплер уже рассчитал орбиты планет, описал различные оптические явления, нашел оптимальный способ вписывать друг в друга сферы и доказал, что снежинкам свойственна гексагональная симметрия. Он сразу понял, что можно найти и более эффективный способ определять стоимость вина. Он отметил, что в длинной узкой бочке вина гораздо меньше, но при этом увлажнить в ней можно такой же фрагмент палки. Сначала он просто вступил в спор с торговцем, но после свадьбы написал на основе этой дискуссии книгу “Новая стереометрия винных бочек”, которую опубликовал в 1615 году. В ней он делит бочки на все меньшие и меньшие круглые фрагменты, чтобы рассчитать их объем. Он описывает, как объем складывается из бесконечного числа бесконечно малых фрагментов.
Он также попытался определить оптимальную форму винной бочки – необходимые пропорции для максимизации ее объема. Он составил кубическое уравнение, показывающее, как объем бочки меняется при изменении ее длины (при неизменном диаметре), и определил, что максимальный объем получается в экстремальной точке этой кривой, когда длина составляет 2/3 от диаметра. Как выяснилось, почти такая пропорция и использовалась при производстве бочек в Австрии.
В этой истории – весь математический анализ. Во-первых, он позволяет понять, как меняется одна величина при изменении другой величины, связанной с ней. Это могут быть объем бочки и ее параметры, или расстояние, преодолеваемое автомобилем, скорость которого постоянно растет при разгоне из неподвижного состояния, или число людей, заболевающих при постепенном увеличении заразности вируса. Во-вторых, он дает нам возможность находить максимальные и минимальные значения. Какая доза препарата от рака окажется наиболее действенной? Какой объем топлива дает “Боингу-747” максимальную дальность полета, учитывая, что он расходует топливо на лету, но требует больше топлива на милю, когда его масса больше?
Работа Кеплера о винных бочках, как правило, считается предтечей математического анализа, но и сегодня не утихают споры о том, кто изобрел его
