точкой
x и точкой
x +
dx. Или
dx. Следовательно, приращение функции, деленное на приращение аргумента, это:
Два множителя dx в правой части уравнения сокращаются (один делится на другой и получается 1, как при делении 3 на 3 получается 1), и остается:
Иными словами, производная от y = x2 – это 2x.
Можно пользоваться тем же алгоритмом, чтобы находить производные других кривых, но в конце концов вы выведете общее правило: если
y = xn,
то
Пусть кривая задается уравнением:
y = 3x2 + 5
Чтобы найти производную, берем степень x (в нашем случае – 2) и умножаем ее на число, стоящее перед x. Если в уравнении есть параметр без x (здесь это +5), он просто исчезает. Следовательно, производная у нас будет 6x. Получается, что в точке, соответствующей, например, x = 5 по горизонтальной оси, крутизна кривой равна 30.
Есть и другие правила для поиска производных других кривых, и есть способы работать с комбинациями таких уравнений. По сути, однако, все сводится к тому, чтобы определять кривизну в конкретной точке кривой.
Именно так Перельсон поступил со своими дифференциальными уравнениями, которые помимо прочего позволяли по крутизне кривой определить, с какой скоростью меняется концентрация ВИЧ. В его статье содержатся дифференциальные уравнения для Т-лимфоцитов, макрофагов, вируса и антигенов, например:
где I – концентрация зараженных клеток, p – скорость, с которой каждая зараженная клетка производит новые вирусные частицы в организме, c – скорость вытеснения вируса иммунной системой человека, а V – концентрация вирусных частиц в крови. Как вы, должно быть, уже догадались, dV/dt – это темп изменения концентрации вируса в крови со временем, который соответствует крутизне кривой, показывающей динамику состояния пациента. Проведя полный анализ, ученые поняли, что существуют разные фазы развития инфекции, которые можно смоделировать математически.
В год выхода статьи Перельсона число подтвержденных случаев заражения СПИДом в США достигло внушительных 100 тысяч, и Конгресс создал Национальную комиссию по СПИДу. Модель Перельсона стала спасительной соломинкой для утопающего. Вскоре Перельсон вместе с врачами и исследователями занялся доработкой модели и уточнением ее параметров. Пожалуй, самым значимым стало его партнерство с Дэвидом Хо, в прошлом физиком, а ныне биологом: с помощью математического анализа они доказали, что комбинация трех “антиретровирусных” препаратов, по сути, избавляет организм от ВИЧ[108]. Предлагалась “тройная терапия”: коктейль из трех антиретровирусных препаратов, который превращал ВИЧ из смертного приговора в поддающуюся решению проблему.
Существует множество примеров дифференциальных уравнений, совершенствующих здравоохранение, от анализа циркуляции крови до оценки темпов распространения рака и эффектов химиотерапии. Но дифференциальные уравнения оказали и более заметное влияние на человеческую жизнь. Когда вы идете или едете по подвесному мосту – например, по Бруклинскому мосту в Нью-Йорке или по мосту Акаси-Кайкё через пролив Акаси в Японии, – вы полагаетесь на умение их конструкторов работать с дифференциальными уравнениями. Одной математики для постройки мостов недостаточно, но начинается все именно с расчетов – как правило, с набора дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие массы, прочности и сопротивления движению, характерных для используемых материалов. Например, инженерам порой приходится рассматривать дифференциальное уравнение, которое описывает, как изменение расстояния между несущими тросами влияет на степень их натяжения, и выбирать конфигурацию, которая минимизирует изменение натяжения при увеличении нагрузки на мост (в таком случае крутизна кривой, описывающей отношение натяжения к нагрузке, должна быть близка к нулю), чтобы сделать конструкцию максимально безопасной. Дифференциальные уравнения находят применение и при проектировании небоскребов: с их помощью рассчитывается, как будет меняться нагрузка на фундамент при увеличении высоты здания и как сильно здание будет поворачиваться и колебаться в шторм. Все находящиеся в зоне вашей видимости здания, дороги, тоннели и мосты, построенные менее ста пятидесяти лет назад, проектировались с использованием математического анализа.
Игра в интегрирование
Дифференцирование – лишь одна сторона медали математического анализа. На другой стороне находится интегрирование – противоположность дифференцированию (хотя, когда его изобрели, об этом никто еще не догадывался). Интегрирование предполагает сложение площадей под крошечными отрезками кривой. Зачем это вообще нужно? Дело в том, что часто это позволяет понять, как ведет себя некая система – будь то экономика страны, спутник на орбите или тропический шторм.
Методы вычисления площади под кривой
Классический пример обычно проще. Допустим, ваш автомобиль разгоняется из неподвижного состояния. Через 5 секунд он едет со скоростью 36 миль в час, а через 10 секунд достигает скорости 50 миль в час. Если построить график изменения его скорости во времени, он будет примерно таким, как на рисунке.
Теперь допустим, что вы хотите выяснить кое-что новое: как далеко продвинулся автомобиль за 10 секунд. У вас есть только данные о скорости и времени. Но подумайте: скорость измеряется в милях в час, а время – в часах (которые при необходимости можно разделить на секунды). Если перемножить скорость и время, получим:
Ответом будут одни мили, то есть расстояние. Иными словами, при перемножении вертикальной и горизонтальной величин, как и при вычислении площади квадрата или прямоугольника, мы получаем новые данные. Единственная проблема в том, что график – это не квадрат и не прямоугольник, поэтому вычислить его площадь не так просто. Можно получить примерный результат с помощью прямоугольного треугольника, обозначенного на рисунке пунктиром, но многое тогда останется неучтенным. Лучше разделить область под кривой на ряд прямоугольников (как три серых на рисунке) и сложить их площади вместе. Но даже такое вычисление будет не слишком точным – если только не построить множество прямоугольников ничтожно малой ширины. Под множеством я имею в виду бесконечное множество. А под ничтожно малой шириной – бесконечно малую.
Рассмотрим ситуацию, в которой зависимость y от x описывается плавной кривой вроде той, что описывает скорость автомобиля на рисунке выше. Допустим, мы хотим вычислить площадь под этой кривой между точкой ее пересечения с осью y и вертикальной прямой, проведенной от интересующего нас значения x. Разделим эту область на узкие прямоугольники. Ширина каждого равна dx, а высота – примерно – y. Следовательно, чтобы вычислить площадь каждого из прямоугольников, или dA, нужно y умножить на dx. У нас получится:
dA = ydx
Поделив обе части уравнения
