Читаем без скачивания Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Пока что мы говорили лишь о прямых траекториях. На самом деле мы ими не ограничены и можем записать уравнение для любой мировой линии. Догадываетесь как? Для этого нужно записать выражение (6.2) в бесконечно малых величинах, а затем применить высшую математику. Для начала получим

dτ 2 = dt2 — dx2. (6.3)

Чтобы вычислить собственное время, затраченное на движение по траектории, нужно взять интеграл Δτ = ∫dτ.

Есть мнение, что специальная теория относительности работает только для равномерного движения, а при ускоренном не обойтись без общей. Ерунда. Общая теория относительности приобретает важность в искривленном пространстве-времени, где действует гравитация. В плоском пространстве-времени, которое предложил Минковский, а мы — рассматриваем в этой главе, действует специальная теория, но траектории могут быть любыми.

Скорость света

Время покаяться. Мы немного схитрили, изменяя теорему Пифагора и выводя уравнения (6.2) и (6.3). Вспомните про анализ размерности. Физические величины можно складывать только при том условии, что они выражаются в одних и тех же единицах измерения. Но τ2 и (Δt)2 — это квадраты времени, а Δx2 — квадрат расстояния. О чем мы думали, вычисляя их разность?

Фокус здесь в том, что теория относительности вводит универсальный коэффициент преобразования между пространством и временем (двумя направлениями в пространстве-времени), который обозначается буквой c и всегда равен одной величине:

c = 299 792 458 метров в секунду. (6.4)

Возможно, это число известно вам под названием «скорость света». Но дело здесь совсем не в том, что свет движется настолько быстро. Это число — универсальная постоянная, скорость, которая вплетена в саму ткань мироздания, а нам позволяет преобразовывать время в пространство и наоборот. Световые (как, впрочем, и гравитационные) волны действительно распространяются с этой скоростью, но это можно считать обычным совпадением.

С учетом огромной важности этой константы именно для нее придумали новую единицу измерения: световую секунду. Она гораздо удобнее, чем старомодные метры. По определению световая секунда равна расстоянию, которое свет проходит за одну секунду, то есть 299 792 458 метров. Это число можно выразить точно, поскольку не составляет труда определить одну секунду как некоторое количество колебаний атома, после чего сказать, что метр — это расстояние, которое свет проходит за 1/299 792 458 секунды.

Несмотря на точность, число получается странное. Если же вместо метров использовать световые секунды, все будет просто:

c = 1 световая секунда в секунду. (6.5)

Примечательно, что такие единицы измерения делают с равной 1, а значит, мы можем просто не учитывать скорость света в уравнениях: деление и умножение на 1 все равно ничего не меняет. Именно так мы и поступили, когда записывали выражение (6.2). В правой части, где стоит Δx, на самом деле имелось в виду Δx/c. Выбрав единицы измерения, в которых c = 1, мы можем как бы опустить скорость света, приняв ее за нечто само собой разумеющееся. Ведь так и формула проще, и понимание того, что расстояние и время — лишь показатели перемещения в пространстве-времени, глубже.

Теперь мы можем посмотреть на мысленный эксперимент с близнецами с численной стороны. Рассмотрим путь Боба со взлета до точки разворота. (Вторая половина пути по сути повторяет первую, разница лишь в направлении. Поэтому нет нужды повторять один и тот же расчет дважды.) При этом мы будем предполагать, что корабль Боба летит с постоянной скоростью:

(6.6)

Мы знаем, что Δx = vΔt. Подставив это в выражение (6.2), получим:

(6.7)

или

(6.8)

Алиса и Боб начинают и заканчивают путь в одних и тех же событиях, преодолевая его за Δt. Алиса неподвижна, поэтому ее собственное время равно изменению координат по оси времени. Но Боб затрачивает в раз меньше собственного времени (в тех единицах, в которых с = 1, не забываем об этом). Если ν = 0,99, получим , а 1/0,14 — это около 7. Вот почему Алиса будет проживать семь лет за один год Боба.

Этот же расчет объясняет, почему нам потребовалось так много времени, чтобы прийти к теории относительности. Ньютон был очень умен. Зачем же он собрал все собственные времена в одну кучу, которую назвал абсолютным временем? Все очень просто. Мы всю свою жизнь почти неподвижны по сравнению со светом. Автомобиль едет со скоростью 100 км/ч, но это лишь 10–7 в единицах, где c = 1. А значит, коэффициент в выражении (6.8) равен 0,999999999999995. Это настолько близко к 1, что никто никогда не заметит разницы. В нашей обыденной жизни собственное время, проведенное в пути, по сути неотличимо от фонового координатного времени.

Световые конусы

Знак «минус» в формуле собственного времени (6.2) открывает интересную возможность. Рассмотрев прямую траекторию, при движении по которой изменение пространства и времени одинаково, то есть (Δx)2 = (Δt)2, мы получим, что τ = 0. Объект перемещается в пространстве, но не затрачивает собственного времени. Такое возможно только при движении со скоростью света:

(6.9)

(Знак «минус» тут означает, что объект может двигаться и налево, и направо, что сейчас для нас не имеет значения.)

Довольно интересный результат. Все, что движется со скоростью света, в том числе и сам свет, не ощущает хода времени. Так и хочется спросить: а что если бы мы могли летать с такой скоростью? (Видимо, Эйнштейн задавался таким вопросом, когда был студентом.) Короткий ответ: ничего бы не было. Если бы мы могли лететь со скоростью света, мы бы не ощущали течение времени. Оно бы для нас замерло. Ни ощущений, ни мыслей.

Пространственно-временные траектории, по которым объект движется со скоростью света, называются нулевыми (поскольку время равно нулю) или светоподобными (по очевидным причинам). В единицах измерения, при которых c = 1, на схеме пространства-времени нулевые траектории будут диагоналями, наклоненными на угол 45°. Именно при таком условии изменение пространственных координат и времени будет одинаковым. Движение со скоростью меньше скорости света будет происходить больше во времени, нежели чем в пространстве. Такие траектории называются временеподобными и располагаются более вертикально по сравнению со светоподобными. Мы также можем подумать и о пространственноподобных траекториях, которые располагаются более горизонтально, так как движение происходит не столько во времени, сколько в пространстве. Физические объекты не могут двигаться по ним (так как нельзя лететь быстрее света), но рисовать их никто запретить нам не может.

Возьмем какое-то событие и обозначим его А. Изобразим чертеж, на котором светоподобные лучи будут начинаться с этого события и направляться в будущее. Как будто кто-то включил и тут же выключил лампочку, а мы отследили траектории всех разлетающихся фотонов. (Примерно так круги расходятся по воде, если бросить в озеро камень. Но только фотоны летят со скоростью света.) Все вместе эти лучи образуют световой конус события А. Гипотетической лампочки может и не быть: такой конус есть у любого события, даже если оно не сопровождается вспышкой света. Фактически конусов даже два: один направлен в будущее, а другой в прошлое, то есть состоит из светоподобных траекторий, которые начинаются где-то в прошлом и заканчиваются событием А.