поместили вдоль волны измерительный прибор, например линейку, и отметили положение первого пика волны, то после небольшого ее продольного сдвига вам пришлось бы немного сдвинуть и линейку, чтобы получить тот же отсчет.
До сих пор все выглядит, пожалуй, слишком просто, даже тривиально, – возможно, как и все элементарные истины. Но мы находимся на пороге мира калибровочных теорий взаимодействия частиц – одного из форпостов современной физики. Поэтому займемся демонстрацией нетривиальности сказанного выше. Мы убедимся, что из этих самоочевидных утверждений вытекают ошеломляющие следствия.
В главе 3 я уже объяснял, или, по крайней мере, отмечал, что уравнения движения частиц могут быть получены, если сперва вывести выражение для действия, связанного с определенной траекторией, а затем найти траекторию, на которой действие принимает наименьшее значение. Эта траектория наименьшего действия и есть та, которую «выбирает» частица – единственная возможная траектория, остающаяся после учета воздействия соседних частиц. Далее я говорил, что дифференциальные уравнения Ньютона можно рассматривать как способ «инструктирования» частицы, следуя которому она нащупывает свою траекторию, совершая один бесконечно малый шаг за другим. Это обсуждение велось на примере реальных знакомых частиц, таких как электроны, но оно применимо и к менее осязаемым частицам электромагнитного излучения, фотонам, – ведь в квантовой механике все оказывается имеющим двойную природу частиц и волн. Следовательно, принцип, в соответствии с которым частица выбирает траекторию наименьшего действия, может быть приложен к электромагнетизму и его частицам – фотонам.
Выражение для действия в случае электромагнетизма формулируется математически, затем минимизируется, и из этой минимизации вытекает эквивалент уравнений Ньютона, но теперь эти уравнения описывают поведение электромагнитного поля. Они известны под названием уравнений Максвелла – их вывел Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) в 1861 году. Звезда Максвелла светила на научном небосводе ослепительно ярко, но недолго. Его уравнения были математическим выражением пионерских экспериментальных исследований электричества и магнетизма, выполненных Майклом Фарадеем (1791–1867) в Королевском институте в Лондоне. Уравнения Максвелла демонстрировали взаимосвязь между «квадратным» электричеством и «шестиугольным» магнетизмом, объединив их в «кубический» электромагнетизм. Мысленно представить себе это объединение можно с помощью следующей подсказки: надо, как я объясняю это более подробно в главе 8, осознать, что согласно специальной теории относительности движение – это «вкручивание» того, что вы представляете себе как пространство, внутрь времени, и наоборот. Чем быстрее вы движетесь, тем сильнее это «вкручивание», – то, что вначале выглядело «электрической» квадратной гранью куба, все больше и больше становится похоже на шестиугольный «магнит», и наоборот.
Уравнения Максвелла в сущности подводят итог унификации законов электричества и магнетизма. Поэтому, коль скоро мы знаем, откуда взялись эти уравнения, нам следует знать и то, откуда взялись сами эти законы.
* * *
В конце 1700-х итальянский математик Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813; мы знаем его под этим именем, приобретенным за долгую жизнь в Париже, хотя от рождения он звался Джузеппе Лодовико Лагранжиа) сформулировал особо элегантную версию ньютоновской механики, которая и сегодня остается идеально приспособленной к тому преобразованию уравнений движения, которое мы ищем. Разработанная им процедура содержит некоторые вынужденные предположения. Из-за различных технических соображений, в которых сейчас нет необходимости разбираться, нужно ввести некоторую математическую функцию, называемую лагранжианом. Существуют различные правила записи лагранжиана: одно из них заключается в том, что когда функция используется для оценки величины действия, и затем это действие минимизируется на пути между двумя точками, то результирующим выражением являются экспериментально подтвержденные уравнения движения – в данном случае вдохновленные опытами Фарадея уравнения Максвелла. Если же минимизированное действие не соответствует известным законам движения, значит, ваша догадка о форме лагранжиана была неверной, – вам придется вернуться к началу пути и пройти его снова, и так до тех пор, пока вы не получите уравнений Максвелла.
Оказывается, что эта цепочка шагов: лагранжиан → действие → минимизация → уравнения Максвелла → опыты Фарадея – проходится до конца, если лагранжиан выражается в терминах волны и если эта волна имеет некоторое специальное отношение к электромагнитному полю, которое лагранжиан описывает. В этом суть дела. Мы можем неограниченно перемещать волну вперед и назад вдоль направления ее распространения (то есть менять ее калибровку), но так как эти изменения не могут вести ни к каким физическим эффектам, не может измениться и лагранжиан – иначе уравнения движения, уравнения Максвелла, больше не соответствовали бы наблюдениям. Лагранжиан, таким образом, должен обладать глобальной калибровочной инвариантностью.
Теперь пришло время поженить Нётер с Лагранжем. Вспомним главу 2: Эмми Нётер выявила связь между симметрией и законами сохранения. Глобальная калибровочная инвариантность – это симметрия. Значит, с ней должен быть связан какой-то закон сохранения. Он оказался законом сохранения электрического заряда. Таким образом, электрический заряд нельзя ни создать, ни уничтожить.
Могу попробовать объяснить, как этот закон сохранения вытекает из глобальной калибровочной инвариантности. Представьте себе маленький прозрачный куб, помещенный в область распространения волны. Когда волна немного смещается (ее глобальная калибровка изменяется при этом везде на одну и ту же величину), часть ее проходит в куб сквозь одну из его граней, а другая часть выходит сквозь противоположную. Чтобы лагранжиан по всей области был инвариантен (независимо от расположения области, а также и в целом), любое расхождение между входящим и выходящим потоками должно быть скомпенсировано созданием или уничтожением амплитуды внутри куба. Это стандартная интерпретация уравнения непрерывности, которое представляет собой математическую формулировку следующего утверждения: результирующий поток сквозь стенки области должен равняться скорости создания или разрушения заряда внутри области. Другими словами, заряд сохраняется [53].
В этом обсуждении я бы хотел сделать еще два шага. Первое: мне кажется вероятным, что, когда Вселенная вдруг начала существовать и ничего особенного при этом не произошло, не было никакого предварительного выбора фаз волн (относительного расположения их пиков), которые через какое-то время должны были оказаться основой электромагнетизма. То есть, когда люди наткнулись на уравнения, описывающие электромагнетизм, перед этими людьми не стояло требования определить и принять какую-то конкретную калибровку: годилась любая. Другими словами, в результате бездействия в начале Вселенной уравнения электромагнетизма глобально калибровочно инвариантны, вследствие чего электрический заряд и сохраняется.
И второе. Если в результате бездействия в миг Творения электрический заряд сохраняется, и Вселенная должна довольствоваться тем, что в ней есть, – и так всегда было и всегда будет, – то возникает два естественных вопроса: каково же полное количество электрического заряда во Вселенной и как этот заряд возник абсолютно из ничего.
Мы можем быть полностью уверены, что знаем ответ на один из этих вопросов. Полный заряд Вселенной равен нулю: в ней множество положительных зарядов (во всех атомных ядрах, сколько их есть) и множество отрицательных (во
