их движением, – бо`льшую часть времени они находятся так далеко друг от друга, что практически не взаимодействуют и поэтому не имеют потенциальной энергии, связанной с их относительными положениями. То, что скорость связана с кинетической энергией, энергией движения, дает нам способ вычисления средней скорости: оценим среднюю кинетическую энергию молекул и затем выразим через нее их среднюю скорость. В главе 4 вы видели, как Больцман вычислял средние значения физических величин: мы тогда воображали, как швыряем книги (молекулы) на полки (энергетические уровни), и определяли наиболее вероятный исход этого процесса без какого-либо прямого его отслеживания (разве что следя за тем, чтобы полная энергия имела фиксированное значение). Выполняя такую процедуру для газа, мы получаем выражение для средней кинетической энергии молекул, а из него и для их средней скорости. И действительно, эта скорость оказывается пропорциональной квадратному корню из температуры – именно так, как нужно, чтобы объяснить закон Шарля.
Но это, конечно, еще не все. Вы уже видели, что объединение законов Бойля и Шарля дает нам закон идеального газа, предельный закон, являющийся отправной точкой для многих приложений термодинамики. Теперь вы знаете, каково его происхождение: та его часть, которая связана с законом Бойля, вытекает из рассмотрения количества столкновений молекул газа, а та, что относится к закону Шарля, объясняется ролью скоростей молекул и их зависимости от температуры.
Надеюсь, вы оцените захватывающую глубину этого вывода. Из неведения – в данном случае из отсутствия каких-либо подробностей индивидуального поведения молекул – оказалось возможным извлечь закон природы: закон идеального газа. Попутно мы поняли смысл средней скорости молекул газа, а также и то, как она зависит от температуры и (хотя об этом я упоминаю только в разделе «Примечания») массы молекул, составляющих газ. Правильным образом организованное и примененное неведение может стать мощным орудием понимания.
* * *
Закон идеального газа – лишь один из малых законов природы, о которых я говорил в главе 1. Они, эти зависимые «внезаконы», напоминают плоды, свисающие с ветвей могучих деревьев – великих «внутренних законов». Может быть, есть и другие такие законы; после того, как мы вывели из бездействия и анархии основные материнские законы, законы малые появляются из неведения.
Вот еще один такой «внезакон» – закон Гука, который я тоже упоминал в главе 1. Роберт Гук (1635–1703) был одним из наделенных поистине творческим воображением мыслителей XVII века – времени, когда растерянность и запутанность человеческого мышления отступали перед поднимающимся приливом рационализма эпохи Просвещения. Идеи Гука питали гений Ньютона, но и его собственные достижения были велики. Закон Гука, как мы узнали еще в главе 1, состоит в том, что, когда вы растягиваете пружину, в ней возникает возвращающая упругая сила, пропорциональная величине растяжения. Растяните пружину на сантиметр от положения равновесия – она будет сопротивляться растяжению; теперь растяните ее вдвое дальше, и ее сопротивление возрастет вдвое[44]. Следствием этого закона, которое непосредственно вытекает из основанной на анархии ньютоновской механики, является то, что пружины, как и маятники, могут устойчиво колебаться, а следовательно, в этом мире, работающем как часы, можно с их помощью хранить время.
Закон Гука – еще один пример предельного закона, который точно выполняется только при условии, что никакого отклонения от положения равновесия нет. Он идеально точен для растянутых пружин, если только они не растянуты, и для качающихся маятников, если только они не качаются. Все пружины и все маятники отклоняются от этого закона при доступных измерению растяжениях и размахах, но неуклонно приближаются ко все более строгому соответствию ему по мере того, как растяжения и размахи стремятся к нулю. В большинстве случаев отклонения пренебрежимо малы: закон можно использовать для надежных предсказаний, а часы великолепно сохраняют точное время. Но растяните посильнее – и пружина, а с ней и закон, лопнет.
Где же в игру вступает неведение, чтобы объяснить собой закон Гука? Если бы вы ничего не знали о внешних факторах, то во всех ситуациях, в которых присутствует сила, противящаяся смещению, вы пришли бы к тому же выводу, что и Гук. Доказательство выглядит так. Подумайте о какой-либо величине, а затем о том, как она изменяется при изменении некоторого параметра. Под «параметром» я понимаю все, что вы можете подстраивать и регулировать, – растяжение пружины, угол отклонения маятника, длину межмолекулярной связи, давление, действующее на твердое тело, и т. д. В каждом из этих случаев может существовать какое-то свойство объекта, подвергающегося воздействию, которое зависит от величины этого воздействия и при нулевом воздействии достигает минимума или через него проходит. Например, этим свойством может быть энергия растягиваемой или сжимаемой пружины. Если бы вы представили себе график зависимости энергии пружины от величины воздействия, он выглядел бы как кривая, которая поднимается по обе стороны от положения нулевого воздействия. То есть энергия пружины растет, когда пружина либо растягивается, либо сжимается, и достигает минимума, когда она покоится. Если только в игру не вступает что-то очень странное, то, какими бы ни были свойство, на которое оказывается воздействие, и природа самого воздействия, все такие кривые одинаковым образом изменяются в обе стороны от своего значения при нулевом воздействии. В случае зависимости энергии пружины от ее смещения такое поведение в окрестности точки нулевого воздействия дает параболическую форму кривой, что и означает (согласно ньютоновской механике), что возвращающая сила пропорциональна смещению – в точности как утверждает закон Гука [45]. Таким образом, незнание того, как ведет себя сила, в результате дает нам знание того, как она скорее всего будет себя вести.
* * *
Я хотел бы вернуться к соображению, которое я высказал чуть выше, – о том, что закон Гука лежит в основе хранения мирового времени, или, по крайней мере, он выступал в роли основы, когда главной деталью больших часов был качающийся маятник, а маленьких наручных – осциллирующий балансир. Возможно ли установить связь между возвращающей силой, которая пропорциональна смещению, и регулярными осцилляциями, необходимыми для хранения времени, не решая для этого уравнений классической механики? Существует ли для явления регулярных осцилляций глубокое, возможно, непредвиденное, объяснение?
И в пространстве, и во времени регулярность предполагает лежащую в ее основе симметрию. Мы должны ее распознать. В данном случае в результате зависимости кинетической энергии от скорости (а следовательно, и от количества движения) качающегося грузика маятника и от его потенциальной энергии, когда грузик поднимается и падает под действием силы тяжести, имеет место регулярное перетекание энергии из одной ее формы в другую и обратно. Одна из этих форм, кинетическая энергия, зависит от квадрата количества
