первой атомной бомбы, а астронавты захватили логарифмические линейки с собой на Луну, когда отправились туда на “Аполлоне”. Транспортная, промышленная и жилая инфраструктура XX века проектировалась с помощью счетных линеек: инженеры даже носили их в специальных чехлах у себя на ремне, потому что такие линейки были незаменимым инструментом. Можно, пожалуй, сказать, что логарифмы оказали на нашу жизнь самое большое влияние из всех изобретений, сделанных в современной истории. И своим существованием они обязаны исключительной целеустремленности одного человека.
Из головы у Кеплера в свое время вылетело имя Джона Непера. Он родился в 1550 году в Эдинбурге и был убежденным протестантом в период ожесточенной межконфессиональной борьбы, которая явно не обошла его стороной. Аристократ по рождению, Непер носил титул восьмого лэрда Мерчистона и был преисполнен ненависти к католикам. Его истовая вера угадывалась даже в математике. Первостепенным для Непера был поиск тайных знаний путем трактовки библейских чисел. Сначала он решил предсказать дату конца света. Он попробовал определить ее, анализируя Откровение Иоанна Богослова, однако не сумел прийти к однозначному выводу и назвал лишь верхний предел – 1786 год. Он также отметил, что если человечество станет больше грешить, то конец света, вероятнее всего, наступит раньше. После этого он решил математически доказать, что на папском престоле сидит Антихрист. Он потратил на это немало сил, не стесняясь искажать Писание, но в конце концов его умение обращаться с цифрами позволило ему добиться своего. В результате родился трактат “Простое объяснение”, который Непер до самой смерти считал лучшим из своих трудов[132].
Впрочем, тот инструмент, который Кеплер назвал “чудесным изобретением” Непера, не имел ничего общего с религией. Логарифм – от греческого logos (отношение) и arithmos (число) – появился из жалости к астрономам.
Любой, кто хотел построить траектории движения небесных тел и составить карты звездного неба, полезные астрологам, астрономам и морякам, должен был исписать горы бумаги тригонометрическими расчетами. Измеряемые секстантом углы, а также их синусы и косинусы позволяли наносить на карту звезды и планеты, положение которых менялось, и прогнозировать их дальнейшее движение. Но в ходе этих расчетов приходилось перемножать, делить и возводить в квадрат и в куб огромное количество чисел. Непер понял, что люди теряют время зря, поскольку им приходится повторять эти манипуляции при каждом новом наблюдении. Даже если не учитывать, как выразился Непер, “утомительную трату времени”, существовала и другая проблема: люди часто допускали ошибки. “Я начал размышлять над тем, каким надежным и легким способом я мог бы устранить эти препятствия”[133], – отметил Непер в предисловии к опубликованной в 1614 году книге, в которой предложил решение проблемы. Книга вышла под довольно смелым названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, или “Описание удивительной таблицы логарифмов”.
Непер пишет, что в книге содержатся “замечательные короткие правила” для экономии времени при умножении. Может, сами правила и были коротки, но выводились они долго. Неперу понадобилось целых два десятка лет, чтобы заполнить 10 миллионов ячеек в приведенных в книге таблицах. И все же работа того стоила. Кеплер, например, преисполнился такой благодарности ученому, что посвятил ему свои “Эфемериды” 1620 года, не зная, что создатель логарифма к тому времени уже умер.
Экспоненциальный рост
Я пишу эти строки в марте 2020 года, когда в новостях только и говорят что о математике, у истоков которой стоял Джон Непер. Логарифмы, впрочем, упоминаются в них редко, зато очень часто речь идет о противоположных им экспонентах. Именно они определяют рост числа случаев заражения вирусом COVID-19 по всему миру. Построив график растущей динамики заболеваемости, вы увидите резко уходящую вверх “экспоненциальную кривую” – ту самую кривую, которую нам настойчиво рекомендуют “сглаживать”, принимая сдерживающие распространение вируса меры, например используя защитные маски и соблюдая дистанцию в общественных местах.
Слово “экспоненциальный” довольно часто встречается и вне контекста вирусной эпидемии. Обычно мы используем его, описывая очень быстрый, головокружительный рост. Как ни странно, у нас при этом нет интуитивного представления об экспоненциальной шкале. Когда нас просят спрогнозировать, как дальше пойдет рост, идущий по экспоненциальному закону, мы, как правило, существенно его недооцениваем. Дело в том, что мы чураемся крайностей и сглаживаем кривую роста в своем воображении, делая ее более или менее прямой.
В лекции, которую американский физик Альберт Аллен Бартлетт прочел не менее тысячи раз, содержится прекрасный пример обескураживающего характера экспоненциального роста[134]. Представьте, говорит он, что сейчас 11 утра. Он дает вам бутылку с одной бактерией и поясняет, что бактерии размножаются путем деления. Количество бактерий в вашей бутылке будет удваиваться каждую минуту, и бутылка окажется до краев заполненной бактериями уже через час.
Это, пожалуй, вполне правдоподобно. Но дальше Бартлетт спрашивает, насколько полной бутылка окажется в 11:56, всего за 4 минуты до конца эксперимента? Математика показывает, что бутылка будет заполнена всего на 6 %. Это не очевидно: будь вы бактерией в бутылке, вам бы в этот момент не показалось, что место скоро закончится. Даже за 2 минуты до конца эксперимента бутылка полна всего на четверть. Она полна наполовину за 1 минуту до полудня. И после этого при последнем удвоении (происходящем в последнюю минуту) она наполняется по самое горлышко.
Еще удивительнее то, что произойдет, если Бартлетт в 11:58 даст вам три новые бутылки, когда первая заполнится лишь на четверть. Бутылка у вас в руке почти пуста, а на полке стоят еще три. Похоже, они заполнятся еще нескоро. Но это не так. Вторая бутылка заполнится в 12:01. Уже в 12:02 полны окажутся все четыре бутылки.
По прошествии 58 минут бактериального деления вы с оптимизмом смотрели в будущее. Еще через четыре минуты от вашего оптимизма не осталось и следа. В этом, по словам Бартлетта, и заключается трагедия нашего непонимания экспонент – хоть в применении к распространению болезней, хоть при бесконтрольном росте численности населения. В начале лекции он неизменно отмечал: “Величайший недостаток человечества – его неспособность понять экспоненциальную функцию”.
У этого недостатка есть название. Это недооценка экспоненциального роста, которая встречается не только в мире эпидемий и увеличения численности населения. В научной литературе речь идет в основном о том, какое влияние эта недооценка оказывает на личные финансы – в частности, при капитализации процентов.
Капитализация процентов приносит осторожному держателю сбережений больше денег. Он не просто получает процент с изначально инвестированной суммы, но и добавляет на счет процент, заработанный, скажем, за год. Затем на этот процент тоже начисляются проценты. Если вы положите 100 фунтов под 10 % годовых, то по истечении первого года у
