вас будет 110 фунтов. Но по истечении второго года вы заработаете 10 % от 110 фунтов, то есть 11 фунтов. По истечении следующего года вам выплатят 10 % от 121 фунта. При капитализации процентов доходность по инвестициям растет экспоненциально.
К несчастью, точно так же дело обстоит со ссудами. Если задолженность по ссуде будет расти экспоненциально из-за неисполнения обязательств по кредиту и начисления процентов, в вашем бюджете могут возникнуть немалые бреши[135]. Мало того, что мы недооцениваем скорость экспоненциального роста, мы еще и переоцениваем свою способность работать с числами. Иными словами, мы понимаем экспоненты неправильно, но при этом проявляем опасную самоуверенность, то есть обычно не проверяем свои интуитивные выводы и не обращаемся за помощью к профессионалам[136].
В применении к эпидемиям недооценка экспоненциального роста дает нам подобное ложное чувство безопасности[137]. В начале вспышки вируса число заражений в день обычно растет экспоненциально, как можно видеть на графике распространения COVID-19 в США в марте 2020 года. И все-таки мы смотрим на первые цифры, и мозг твердит нам, что рост линеен.
Число случаев заражения COVID-19 в день в начале 2020 года в США (источник: Центр по контролю и профилактике заболеваний)
Пусть в первый день было выявлено 50 случаев, а во второй – 100. Совершая ошибку экспоненциального роста, мы интуитивно предполагаем, что в третий день прибавится еще 50 случаев. Но если рост идет по экспоненциальному закону, дневное увеличение числа случаев с 50 до 100 значит, что каждый день число заболевших удваивается. Следовательно, в третий день заболеет 200 человек, а не 150. К десятому дню будет выявлено на 25 тысяч больше случаев, чем в нашем предполагаемом линейном сценарии. Ошибка приводит к беспечности: мы считаем, что столкнемся с гораздо меньшим числом заболевших, чем на самом деле. Порой наш не склонный к математике мозг оказывается более опасным, чем можно предположить.
Переход к логарифмам
Слово “экспоненциальный” происходит от слова “экспонента”. Экспонентами называются показатели степени – маленькие циферки, стоящие сверху и говорящие, сколько раз нужно умножить число, к которому они относятся, на само себя. Когда мы говорим, что 23 = 8, на самом деле мы имеем в виду, что нужно “три раза умножить число 2 на само себя”. Это 2 × 2 × 2, то есть 8. Мы также можем перевернуть эти отношения между числами с ног на голову. И здесь в дело вступает логарифм. Вместо того чтобы смотреть на экспоненту, мы можем выразиться иначе и сказать, что “логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3”. Вам может показаться, что толку от этого никакого, но Джон Непер, к счастью, сообразил, что здесь к чему. Он разглядел в этом возможность превратить обременительное умножение в простое сложение.
Математики давно оценили относительную сложность этих операций. Известна чудесная (и, возможно, вымышленная) история немецкого купца XV века, который хотел обучить своего сына математике[138]. Купец обратился за советом к профессору местного университета.
– Если вы хотите, чтобы он просто научился складывать и вычитать, – сказал профессор, – ему достаточно будет окончить немецкий университет.
– А если я хочу, чтобы он научился умножать и делить? – спросил купец.
– Тогда отправьте его в Италию.
Очевидно, немцы тогда еще не освоили умножение. Но Непер показал, что не нужно ехать в Италию, где на папском престоле восседает Антихрист. Он объяснил, как производить умножение путем сложения с помощью тригонометрии.
Помните, как в тригонометрии находят синусы и косинусы? Для этого находится отношение сторон треугольника, вписанного в круг с радиусом 1. Оказывается, эта операция дает любопытный побочный продукт. Возьмем два угла, A и B, и найдем их косинусы. Перемножим их и затем удвоим произведение. Это число окажется равным сумме косинуса угла A + B и косинуса угла A – B. На языке математики:
2cos(A)cos(B) = cos(A + B) + cos(A – B)
Это значит, что произведение двух чисел можно найти в тригонометрических таблицах. Если вы хотите перемножить X и Y, сделайте X равным cos (A), а Y равным cos (B). Откройте буклет с таблицами и найдите A и B. Далее вычислите A + B и A – B. Вернитесь к таблице и найдите косинусы получившихся углов. Сложите их, и получите удвоенное произведение X и Y. Поделите результат пополам – и ответ готов.
Имея набор тригонометрических таблиц, так можно поступать с любыми числами, которые вы хотите перемножить. Непер знал об этой технике и других подобных – например, подобный фокус можно провернуть с помощью синусов углов – и также знал, что моряки и астрономы часто применяли эти “тригонометрические тождества”, чтобы ориентироваться по небу. Но особенно он заинтересовался вопросом, когда узнал от своего знакомого Джона Крейга, что Тихо Браге применил эти техники, чтобы совершить великое открытие[139]. Крейг видел, как Браге с помощниками работает с техникой, когда посетил обсерваторию Браге на острове Вен, где остановился в принадлежащем Браге Ураниборге (буквально – “небесный замок”). Браге использовал тригонометрические тождества в процессе открытия новой звезды, и Непер счел, что дальнейшие открытия можно ускорить, если астрономам будет проще их применять – и особенно если за них уже выполнят всю сложную работу. Он решил, что займется ею сам.
Предложенный Джоном Непером метод вычисления логарифмов
Непер дал толчок к логарифмической революции, представив две бусины, движущиеся по параллельным спицам, одна из которых конечна, а другая – бесконечна. Верхняя спица бесконечна, и бусина A движется по ней с постоянной скоростью. Числа, определяющие ее положение, растут в арифметической прогрессии, то есть увеличиваются равномерно – на одинаковую величину при каждом шаге. Скажем, спустя 1 секунду бусина находится в положении 100, спустя 2 секунды – в положении 200, спустя 3 секунды – в положении 300. Нижняя спица конечна. Бусина B начинает движение на одном уровне с бусиной A и сначала движется с такой же скоростью, но постепенно ее скорость снижается. Точнее, ее скорость пропорциональна расстоянию до конца спицы. Скажем, она начинает движение со скоростью 100, через 1 секунду ее скорость снижается до 50, через 2 секунды – до 25 и так далее. Это имеет два следствия. Во-первых, это значит, что числа, определяющие положение нижней бусины, уменьшаются в “геометрической” прогрессии, то есть на каждом шаге происходит умножение, а не сложение. Во-вторых, это значит, что в любой момент
