в 1618-м – через два года после знакомства с работой Непера. Третий закон математически связывает время, за которое планета делает оборот вокруг Солнца, с пространственной протяженностью более длинной, “большой” оси ее орбиты. Говоря на языке математики, квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу “большой полуоси” (большая полуось – это половина большой оси). Кеплер пришел к этому выводу не через квадраты и кубы, а через отношения. 8 марта 1618 года он сказал, что “ему в голову пришло”, что “отношение периодов обращения двух любых планет ровно в полтора раза больше отношения средних расстояний”[143]. Мы можем перевести это на язык логарифмов отношений периодов и расстояний. Если планета A совершает оборот вокруг Солнца за время
TA, а радиус ее орбиты (среднее расстояние планеты от Солнца) равен
rA, а планета B совершает оборот вокруг Солнца за время
TB при радиусе орбиты
rB, то
Если мы построим график с логарифмическим масштабом на обеих осях, связь станет очевидной. Судя по всему, в какой-то момент в промежутке с 1609 по 1618 год мозг Кеплера совершил логарифмический скачок. Логично предположить, что Непер (и Бригс), возможно, сделали непредвиденный и почти не оцененный вклад в астрономию.
Иоганн Кеплер увидел логарифмическую связь между диаметром орбиты планеты и временем обращения этой планеты вокруг Солнца
Еще больше времени и сил сэкономила автоматизация этих расчетов. Первый шаг к ней сделал Непер, который предложил использовать для вычислений деревянные палочки, названные палочками Непера (или костями Непера, когда впоследствии их начали изготавливать из слоновой кости). Как и в случае с логарифмами, Непер разработал палочки, чтобы упростить сложные вычисления. Палочки были поделены на квадраты, каждый из которых был по диагонали поделен на два треугольника. В каждом треугольнике стояла цифра, и расположение цифр превращало эти палочки в счетный инструмент, который требовал от пользователя умения не умножать, но складывать.
Набор палочек Непера
Допустим, вы хотите умножить 423 на 67. Возьмите палочки, в верхней части которых стоят цифры 4, 2 и 3, и положите их рядом. Теперь выпишите цифры из шестого ряда, складывая по диагоналям: у вас получится 2, 4+1, 2+1 и 8, то есть 2538. Теперь поступите аналогично с седьмым рядом: у вас получится 2, 8+1, 4+2 и 1, или 2961.
Умножение 423 на 67 с помощью палочек Непера
Теперь сложите полученные четырехзначные числа, сместив число из шестого ряда на один знак влево (поскольку шестерки в этой сумме символизируют десятки, а семерки – единицы). Сложите 25 380 и 2961. Получится 28 341, и это произведение 423 и 67.
Поскольку палочки Непера упрощали умножение, деление и извлечение квадратных корней, они завоевали огромную популярность и производились во множестве вариаций (включая и такие, которые позволяли извлекать квадратные и кубические корни), пока не легли в основу более сложных инструментов. Некоторые из них были автоматизированными: машина, созданная в 1623 году Вильгельмом Шиккардом, даже складывала нужные числа, чтобы вам не приходилось делать это в уме. В 1650-х годах французский инженер Пьер Пети нанес числа на бумажные полоски, которые надел на барабан, чтобы они могли двигаться относительно друг друга, еще сильнее упрощая умножение. Вскоре после этого немецкий ученый-универсал Афанасий Кирхер пошел дальше и создал машину для умножения на базе палочек Непера, добавив в нее также собственные изобретения, чтобы расчеты производились при повороте рукоятки. Однако, как бы хорошо такие машины ни справлялись с автоматизацией умножения, их роль была ничтожной в сравнении с той, что сыграло универсальное полуавтоматическое математическое оружие, называемое счетной, или логарифмической, линейкой.
Калькулятор столетий прогресса
Одним из первых следствий появления логарифмических таблиц Непера и Бригса стало осознание, что можно обходиться и без таблиц. Можно нанести числа на логарифмическую линейку, где промежуток между 1 и 2 равен промежутку между 2 и 4 или между 4 и 8.
Логарифмическая линейка
Сопоставление двух линеек позволяет производить расчеты: две линейки становятся, по сути, переносной логарифмической таблицей. Первым это сделал еще один профессор Грешем-колледжа – Эдмунд Гантер. Он выгравировал нужные числа на деревянной планке в два фута длиной, которую стали называть линейкой Гантера. С помощью циркуля-измерителя, заостренные ножки которого позволяют измерять расстояние между точками, математик вычислял суммы и разности, оценивая лишь длины. Гантер сравнивал свою логарифмическую линейку с нанесенными на карту отметками, которые обозначали линии румбов, обратные курсы и тригонометрические функции, обеспечивая моряков многофункциональным навигационным инструментом, применявшимся сотни лет.
Вскоре у сухопутных крыс появился даже более продвинутый инструмент, и произошло это благодаря Уильяму Отреду. Он предложил совместить две деревянных планки с нанесенными на них числами логарифмической шкалы, чтобы эти планки могли сдвигаться относительно друг друга. Устройство такой линейки позволяло подготовленному пользователю осуществлять всевозможные вычисления. “Счетная линейка” Отреда произвела революцию в мире быстрых и точных расчетов. Исаак Ньютон явно оценил изобретение по достоинству: в 1672 году он написал Джону Коллинзу, что использовал линейку при решении кубического уравнения. Коллинз заинтересовался, потому что аналогичным образом можно было вычислять объем жидкости в частично наполненной бочке, – так математика снова нашла применение в сфере налогообложения[144].
Ньютон предложил и способ усовершенствовать конструкцию инструмента: он первым применил подвижный бегунок, без которого сегодня не обходится ни одна логарифмическая линейка. В конце XVIII века Джеймс Уатт дополнил линейку шкалами для инженерных расчетов и назвал свой вариант “сохо-линейкой”. С ее помощью он рассчитал технические характеристики недавно изобретенного парового двигателя, и многие его современники взяли сохо-линейку на вооружение. По трудам Уатта видно, что логарифмическая технология заложила фундамент промышленной революции. Химик Джозеф Пристли использовал ее, чтобы обрабатывать результаты своих экспериментов, и так определил химический состав воздуха. Счетная линейка обрела такую важность, что по другую сторону Ла-Манша французским государственным служащим приходилось доказывать свое умение обращаться с ней на квалификационном экзамене[145].
Спрос на логарифмические линейки достиг пика в XX веке. Наука, инженерия и промышленность процветали. В них было не продвинуться без математики: счетная линейка стала незаменимым инструментом в лабораториях, заводских цехах и конструкторских бюро во всем западном мире. И технология продолжала развиваться, предоставляя пользователям новые функции и обеспечивая более высокую точность. Только в первое десятилетие XX века появилось 90 новых модификаций линейки. Нобелевский лауреат Джулиус Аксельрод применял ее в работе, которая привела к
