функция становится собственной производной, что невероятно упрощает математический анализ.
Ответ на этот вопрос – да. И условие таково: b, основание нашего исходного равенства y = bx, должно равняться 2,71828… Иными словами, если вычислять производную y = ex, dy/dx = ex.
С учетом этого важность e невозможно переоценить. Если вы способны перестраивать свои экспоненциальные функции, каким бы ни было их основание, и приводить их к основанию e, у вас появляется возможность осуществлять их математический анализ с непревзойденной легкостью и благодаря этому решать множество интересных задач. Так, если вам хочется выяснить, сколько новых случаев заражения вирусом будет выявлено завтра, вы понимаете, что ожидаемое число будет некоторым образом связано с числом случаев, выявленных сегодня. Это экспоненциальная функция, которую можно записать с помощью произвольных чисел. Но если вы хотите поиграть с математикой и вычислить такие вещи, как скорость изменений, часто вам проще использовать в записи число Эйлера e, возведенное в степень, кратную проходящему времени. Это объясняется тем, что такая степень является коэффициентом пропорциональности общего числа случаев к скорости роста. По тем же причинам мы применяем e при исследовании целого ряда иных феноменов. Число e играет важнейшую роль в финансовых вопросах, например при расчете сложных процентов, в конфигурации разветвляющихся кровеносных сосудов в организме человека, в динамике роста бактериальных колоний, в скорости распространения теплоты от горячего тела к холодному (именно оно помогло составить уравнения, которые стали двигателями промышленной революции), а также в естественной убыли количества радиоактивного вещества в изучаемом образце. Разберем последний пример: если исходная масса m0 испускает излучение со скоростью r, по прошествии времени t останется радиоактивная масса m0e —rt. Атомная эпоха наступила во многом благодаря тому, что ученые научились использовать e таким образом (а необходимые расчеты, конечно, производились с помощью логарифмической линейки).
Важнее всего, пожалуй, то, что, отталкиваясь от любой логарифмической таблицы, можно составить другую логарифмическую таблицу с новым основанием, но нет основания ценнее, чем e. Судя по всему, именно об этом Отред и написал в приложении к книге Непера. Мы никогда не узнаем, каким образом он проник так глубоко в суть вещей, но главное, что он оказался прав: как мы увидим в следующей главе, число e открыло нам весь диапазон технологий XX века – оно не только дало толчок к развитию банковского дела и созданию атомных бомб, но и подарило нам такие электрические новшества, как радио, электрическая сеть и, наконец, компьютер.
Впрочем, прежде чем двигаться дальше, нам стоит отметить и другие достижения Непера. Как ни посмотри, хватило бы и одних логарифмов. Мы увидели, что их появление привело к целым столетиям новаторства: составлению карт звездного неба, созданию парового двигателя, наступлению атомного века и использованию счетных линеек, с помощью которых астронавты “Аполлона” осуществляли особенно важные расчеты. Но Непер также подарил нам десятичные дроби.
Десятичные дроби
Об успехе десятичных дробей говорит то, что мы уже встречали их в этой книге, но нам даже не пришлось останавливаться и обсуждать, что именно они собой представляют. Давайте все же уделим им немного времени.
По сути, десятичные дроби – это просто другой способ записи дробей. Первая цифра после запятой обозначает количество десятых долей, вторая – сотых, третья – тысячных и так далее. Насколько нам известно, впервые эта идея нашла применение в книге арабского математика Абу-л-Хасана Ахмада ибн Ибрахима аль-Уклидиси, написанной в X веке. Он даже предложил особую форму записи – использовав знак, похожий на апостроф, – чтобы отделять целую часть числа от дробной.
Западные математики обратили внимание на десятичные дроби лишь в 1585 году, когда выходец из Брюгге Симон Стевин опубликовал книгу “Десятая”, в которой объяснил азы работы с ними. Твердо уверенный в практической пользе десятичных дробей, Стевин заявил, что рано или поздно страны перейдут к чеканке денег по десятичной системе.
Правда, в его собственной записи дроби выглядели иначе. Стевин обозначал начало дробной части нулем, заключенным в круг. За десятыми долями следовала заключенная в круг единица, за сотыми – заключенная в круг двойка и так далее. В 1612 году немецкий математик Бартоломеус Питискус избавился от этого мусора и предложил использовать в качестве разделителя знакомую нам точку. Популяризатором этой записи стал не кто иной, как Джон Непер, который применил ее в своих чудесных логарифмических таблицах.
Теперь мы узнали все необходимое, чтобы сделать следующий шаг – совершить поразительный скачок, который позволит нам вырваться из собственного мира и исследовать другие миры. Помните, как Непер изначально разработал логарифмы, чтобы помочь с расчетами астрономам и морякам? Поскольку в их основе лежит тригонометрия (а это слово, кстати, изобрел как раз Бартоломеус Питискус, отец десятичной точки), существуют любопытные взаимосвязи между логарифмами, экспонентами и вычисляемыми на основе треугольников отношениями, которые мы называем синусами, косинусами и тангенсами. Но в них участвует и еще кое-что, с чем мы еще не знакомы: комплексное, или мнимое, число. Как мы скоро увидим, “мнимое” – эпитет неудачный: это странное математическое творение достаточно реально, чтобы питать почти весь современный мир.
Глава 6. Комплексные числа. История электрического века
Случалось ли математическому изобретению получить более обманчивое название? Комплексные, или мнимые, числа появились из алгебры и сформировали собственную область науки – и собственную сферу влияния. Хотя они и не похожи на другие числа, они, несомненно, реальны: без них в современном мире не обходится практически ничего. Электрификация Америки, начинка мобильного телефона, звук в кинозале и треск усилителя Marshall – все перечисленное обязано своим существованием этим числам. Кремниевая долина в буквальном смысле была основана на них. И все же хорошо, что математик Чарльз Лютвидж Доджсон – более известный как Льюис Кэрролл – не понял, какую пользу они принесут, ведь иначе нам не удалось бы побывать на пресловутом безумном чаепитии у Шляпника.
Кларенс Леонидас Фендер был одним из миллионов американцев, потерявших работу в Великую депрессию, разразившуюся в 1930-х годах. Фендер получил диплом бухгалтера, окончив Фуллертонский колледж в Калифорнии, устроился в Калифорнийский дорожный департамент и так полюбил свою работу, что даже не задумывался о смене профессии. Позже он вел бухгалтерию в компании, которая торговала шинами. Лишившись и этой работы, он решил, что настало время перемен. Он вспомнил о своем детском увлечении, взял в кредит 600 долларов и открыл радиомастерскую.
Был 1938 год, и радиомастерская Фендера не только предлагала услуги по ремонту радио, но и продавала и давала в аренду собранные
