4 к 3. Две одинаково натянутые струны, длины которых относятся друг к другу как 1:2, дают ноты с интервалом в октаву. Струны с отношением 3:2 дают “чистую квинту”. При отношении 4:3 получается кварта. Числа 1, 2, 3 и 4 для греков были священны, а их сумма равнялась 10 – совершенному числу. Их представляли в виде треугольника из символов. Этот набор из четырех элементов назывался тетрактис. К нему обращались при произнесении клятв: “Во имя того, кто подарил нам тетрактис, содержащий источник и корень вечно текущей природы”. Иными словами, они подходили к числам со всей серьезностью, считая их ключом к пониманию Вселенной.
Греческий тетрактис
И они, возможно, были правы. В 1960 году венгерский математик Юджин Вигнер написал очерк “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”[157]. Его мысль была проста: Вигнер полагал, что изобретение чисел и набора правил для проведения манипуляций с ними позволило нам описывать и прогнозировать множество явлений реального мира. Но числа и правила, то есть математика, были, как он утверждал, продуктом человеческого мозга, так почему же они открывали нам путь к таким открытиям? Вигнер отметил, что “чрезвычайная эффективность математики в естественных науках… [это] нечто загадочное”. И добавил, что она “не поддается рациональному объяснению”. Он назвал это “чудом”.
Шестьдесят лет спустя чудо так никуда и не делось, но вышло за пределы мира натуральных чисел, занимавших умы пифагорейцев. Как мы увидели, оно вошло в мир комплексных чисел, которые позволили нам сконструировать усилители и изучить поведение субатомных частиц. Но и это не стало пределом, поскольку теперь у нас на горизонте маячат гиперкомплексные числа. Понимаю, звучит пугающе, но потерпите немного. Есть смысл набраться смелости и выйти в эту область, ведь в итоге вы получите прекрасное постпифагорейское представление о том, из чего на самом деле может состоять Вселенная.
Герой этой истории – ирландский математик. Уильям Роуэн Гамильтон родился в Дублине в 1805 году. Возможно, его биографы преувеличивают, но утверждается, что он был настолько смышлен, что к десяти годам успел освоить десять древних языков, включая халдейский, сирийский и санскрит. Но мальчик и правда был весьма одарен: когда в семнадцать лет он прочел недавно опубликованный трактат Лапласа о механике небесных тел, он нашел в нем ошибку, которую не заметил больше никто. Уже в двадцать два года он стал королевским астрономом Ирландии. К тридцати годам он был посвящен в рыцари за заслуги в развитии наук.
Это случилось в 1835 году, в тот же год, когда Гамильтон увлекся комплексными числами. Ему искренне хотелось продвинуться дальше в этой сфере. Он рассудил, что если чисто мнимое число i дает нам дополнительное измерение в пространстве чисел, то нельзя утверждать, что других измерений в этом пространстве нет. Он решил провести эксперимент и предложил два дополнительных набора чисел – по сути, два дополнительных измерения на числовой оси. Обозначив их j и k, он стал изучать, какие арифметические действия может с ними произвести, подобно тому как Бомбелли поступил с квадратным корнем из –1 (ныне известным как i) тремя столетиями ранее.
Оказалось, что Гамильтон мог приписать j и k математические свойства, которые позволили бы ему осуществлять сложение и вычитание в “тройке” – так он называл совокупность i, j и k. А вот с умножением и делением ничего не выходило. Гамильтон был твердо настроен расширить набор допустимых операций, и это находило отражение в вопросе, с которым дети обращались к нему каждое утро. “Ну что же, папа, – говорили они, когда отец спускался к завтраку, – ты научился умножать тройки?” Гамильтон, по его же словам, отвечал им, “печально качая головой”[158].
А затем у него все получилось. Его озарение стало предметом известного анекдота из истории математики. 16 октября 1843 года он прогуливался с женой вдоль дублинского канала Ройал и вдруг понял, в какой взаимосвязи должны состоять i, j и k, чтобы задача обрела решение. “В тот миг я почувствовал, как замыкается гальваническая цепь моей мысли, и искры, вылетевшие из нее, дали мне базовые уравнения, связывающие i, j и k”, – вспоминал он. Он так обрадовался, что, боясь упустить свою мысль, выцарапал решение на камне ближайшего моста. Следы его вандализма давно исчезли, уничтоженные годами и прикосновениями. Сегодня место, где на Гамильтона снизошло озарение, отмечено табличкой, на которой высечено и выражение, сложившееся из отдельных искр:
i2 = j2 = k2 = ijk = –1
Гамильтон добавил свою тройку к знакомому набору действительных чисел, чтобы создать то, что он назвал кватернионами. Он сказал, что создал это слово, опираясь на греческую идею о тетрактисе – изначальном мистическом наборе из четырех элементов. Эта связь была не случайной. Гамильтон полагал, что ученые сделаны из того же теста, что и древнегреческие мыслители. Он говорил, что им следует “изучать язык оракулов Вселенной и прислушиваться к ним”[159]. Он также разделял любовь греков к поэзии и близко дружил с поэтами-романтиками Вордсвортом и Кольриджем. По мнению Гамильтона, крайне важно было восстановить связь науки с философией и поиском божественного начала. И он считал, что кватернионы стали первым шагом в нужном направлении.
На следующий день после открытия Гамильтон написал своему другу Джону Грейвзу, который был юристом, но глубоко интересовался алгеброй. Грейвз ответил смело: зачем на этом останавливаться? “Я пока не понимаю, насколько мы вольны по своему усмотрению создавать мнимые числа и наделять их сверхъестественными свойствами”, – отметил он в ответном письме 26 октября. Два месяца спустя Грейвз снова написал Гамильтону. Он снова удвоил число мнимых чисел и разработал математику октонионов. Словно бы в угоду музыкальным вкусам древних, двое ученых создали числовую октаву.
Они попытались пойти дальше, но у них ничего не вышло. Теперь мы знаем, что шансов у них не было, потому что сделать это невозможно. Складывается впечатление, что природа сложена из наборов чисел, но количество их конечно. Математики доказали это с октонионами, и мы получили полный комплект возможных систем, с помощью которых люди могут чрезвычайно эффективно описывать Вселенную на языке чисел.
Как же это происходит? Вас вряд ли удивит, что это сложно. Настолько сложно, что, похоже, легло в основу одной из величайших сцен англоязычной абсурдистской литературы: безумное чаепитие у Шляпника в “Алисе в Стране чудес”.
Под псевдонимом Льюис Кэрролл скрывался оксфордский математик Чарльз Лютвидж Доджсон. Он преподавал геометрию в колледже Крайст-Черч. По природе он был
