треугольниках, и эти углы можно представить в виде долей π или кратных π величин в единицах, называемых радианами. Следовательно, мы здесь не раскрываем непостижимую загадку Вселенной, а получаем простой и полезный набор взаимосвязей, вытекающих из различных подходов к определению чисел.
Эти взаимосвязи не просто полезны – их можно назвать жизненно важными. Рассмотрим, например, их применение в естественных науках: составить полное математическое описание природы без чисто мнимых чисел просто не представляется возможным. Действительных чисел, которые мы так хорошо изучили, недостаточно. Их необходимо комбинировать с чисто мнимыми числами, чтобы создавать “комплексные” числа, впервые продемонстрированные Бомбелли. В результате, по словам математика Роджера Пенроуза, получается прекрасная завершенность. “Вскоре мы увидим, что комплексные числа, как и вещественные, а может быть, и в еще большей степени, обнаруживают поистине замечательное единство с природой, – отмечает он в книге «Путь к реальности». – Это выглядит так, как если бы сама природа была, как и мы, под впечатлением от общего и последовательного характера системы комплексных чисел и поручила им описывать тонкие процессы в самых малых масштабах”[154]. Иными словами, мы должны были открыть комплексные числа, поскольку они представляют собой неотъемлемый элемент описания природы.
Величайший вклад в науку комплексные числа, пожалуй, вносят своей важнейшей ролью в уравнении Шрёдингера, используемом в квантовой механике. Эта область математики дает нам наилучший способ описывать и прогнозировать поведение части базовых составляющих природы. Будь то фотоны (сгустки электромагнитной энергии, например света), электроны (отрицательно заряженные субатомные частицы), протоны и нейтроны (из которых состоят ядра атомов) или различные силы, возникающие между такими частицами, – все в природе, похоже, подчиняется законам, заключенным в этом уравнении. Его вывел австрийский физик Эрвин Шрёдингер в 1925 году, и за это в 1933 году он удостоился Нобелевской премии. Это уравнение остается одним из самых важных и самых емких описаний поведения мира природы, и нам стоит на него взглянуть, хотя подробно разбирать его мы не станем. Обратите внимание на i, чисто мнимое число, которое стоит в нем в самом центре:
О странности и непостижимости квантовой теории сказано немало. Американский физик Ричард Фейнман, получивший Нобелевскую премию за разработку теории квантовой электродинамики, однажды заявил: “Думаю, можно смело сказать, что квантовую механику не понимает никто”[155]. В ее странности сомнений не возникает: уравнение Шрёдингера допускает существование такого явления, как “суперпозиция”, при котором субатомные частицы словно бы наделяются множественными сущностями и могут фактически находиться в двух местах одновременно или двигаться одновременно в двух разных направлениях. Есть и “квантовая запутанность”, которую Эйнштейн назвал “призрачным дальнодействием”. Призрачное оно потому, что, пребывая в состоянии запутанности, квантовые частицы, судя по всему, мгновенно оказывают влияние на свойства друг друга, как бы далеко друг от друга они ни находились в пространстве. Если толкнуть одну из частиц, пребывающих в запутанном состоянии, то вторая “ощутит” этот толчок, даже находясь при этом на другом конце Вселенной.
Все странные квантовые свойства были замечены в уравнениях квантовой теории задолго до того, как удалось пронаблюдать их в ходе экспериментов. И эти уравнения не обходятся без комплексных чисел.
Это объясняется тем, что мы имеем дело с явлениями, которые лучше всего описываются как волны. Первым такой подход к квантовым феноменам предложил французский аристократ герцог Луи де Бройль. Учась в аспирантуре на факультете естественных наук Парижского университета, он предположил, что любую частицу можно представить как волну, а любую волну – как частицу.
Основная идея де Бройля заключалась в том, чтобы считать электрон внутри атома волной, длина которой зависит от заряда. Когда заряд увеличивается, длина волны уменьшается. Сделать полное математическое описание такой волны можно лишь с использованием комплексных чисел. Главный фактор в этом описании – так называемая фаза. Обычно наличие фаз предполагает оценку относительно чего-то: так, фазы Луны меняются в зависимости от относительного расположения Луны, Земли и Солнца. Применительно к физическим волнам, например водяным и звуковым, фаза показывает, где вы находитесь относительно начала и конца волнового цикла (скажем, посередине). Но применительно к квантовым волнам фаза – нечто совсем иное: это простое свойство квантовой частицы. Можно сказать, что электрон находится в определенном положении, обладает определенным импульсом и пребывает в определенной фазе. Как ни странно, эта квантовая фаза не существует в одном физическом пространстве с частицей.
Чтобы согласовать свою идею с теорией относительности Эйнштейна, де Бройль допустил наличие дополнительных измерений. Если бы волна переносила энергию и импульс частицы в физическом пространстве, ей приходилось бы двигаться быстрее скорости света, а теория относительности этого не допускает. Де Бройль подчеркнул, что речь здесь идет о “фазовой волне”, а не о “вещественной”. Волна в данном случае – хотите верьте, хотите нет – представляет собой комплексное число, которое колеблется в некоем абстрактном измерении.
Возможно, вам уже и это кажется безумием, но дальше – хуже. Квантовая физика выделяет дополнительное измерение для каждого физического свойства каждого электрона. Именно поэтому Эрвин Шрёдингер назвал свое развитие идеи де Бройля “многомерной волновой механикой”[156]. Маленькая буква i в уравнении Шрёдингера кажется совсем простой, но создает огромный комплексный (во всех смыслах) ландшафт, состоящий из практически бесконечного числа измерений.
Этот многомерный ландшафт используется для построения гильбертова пространства. Оно названо по имени математика Давида Гильберта, который, изучая математический анализ и геометрию, предложил идею об арене, где знакомые нам три пространственных измерения разветвляются на бесконечное число измерений. На этом основана “многомировая” интерпретация квантовой теории, которая утверждает, что существуют, по сути, другие вселенные, альтернативные нашей, и каждая из них содержит чуть отличную от нашей версию реальности.
Поразительно, но квантовая концепция множества миров – не самый сложный результат работы с комплексными числами. Дело в том, что квантовая механика не является финальной теорией Вселенной. Для такой теории нам, вероятно, понадобится набор комплексных чисел, называемых кватернионами, а также (возможно) родственных им октонионов. Пора совершить путешествие в Дублин и познакомиться с математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном, который выцарапал свое открытие на мосту.
Как i попало в Алису
Начнем с пифагорейцев, с которыми мы уже встречались в одной из предыдущих глав. Это те самые ученые, которые входили в свою школу через ворота с надписью “Все есть число” и, возможно, утопили коллегу, указавшего на изъян в их системе ценностей.
Их фанатизм начался с любви и уважения к музыке. Греческую музыку – музыку космоса, по мнению пифагорейцев, – можно свести к отношениям чисел, например 1 к 2, 3 к 2 и
