class="sup">
1,
e2 и
e4 сравнимы с кватернионами
i, j и
k. На рисунке показано, как они работают вместе в математических целях.
Плоскость Фано для умножения октонионов
В некотором роде это прекрасно. Эта карта ландшафта октонионов называется плоскостью Фано в честь итальянского математика Джино Фано. В ней есть нечто мистическое, напоминающее о всевидящем оке, которое можно найти на обратной стороне Большой печати США и долларовой купюры. Математики эпохи Возрождения смотрели на него и видели око Бога, заключенное в треугольник, символизирующий христианскую Святую Троицу. Их современные коллеги – по крайней мере, некоторые – видят кое-что иное: краткое описание того, как устроена Вселенная.
Этот фрагмент математики пока не изменил историю человечества. Работа с октонионами еще не завершена, и она, возможно, ни к чему нас не приведет. Но эти странные числа дразнят нас, а их свойства отражают наши представления о поведении сил и частиц, которые встречаются в природе, и этого достаточно, чтобы некоторые физики отправились за ними вниз по кроличьей норе.
Мы уже упоминали о некоторых странных свойствах квантовой теории. Когда мы описываем поведение различных субатомных частиц, некоторая странность в получающейся математике отражает свойства кватернионов. Рассмотрим принцип неопределенности Гейзенберга. Он гласит, что нельзя одновременно точно знать определенные пары характеристик частицы – например, ее координаты и импульс. Это следствие того, что в квантовой математике порядок вещей имеет значение, как и при работе с кватернионами i, j и k.
Неразрешимая странность квантовой теории оттолкнула от нее и Эйнштейна, и Шрёдингера. Они вместе искали ее недостатки и пытались убедить остальных – в частности, Нильса Бора, который часто считается отцом-основателем квантовой теории, – что лучше начать все с начала. В 1939 году Эйнштейн прочел лекцию, на которой присутствовал Бор. Глядя ему прямо в глаза, Эйнштейн заявил, что теперь его цель состоит в том, чтобы сместить с позиций квантовую механику[162].
Шрёдингер также не стал дальше развивать квантовую теорию и отошел от нее примерно тогда же, когда и Эйнштейн. Оба ученых – независимо друг от друга – занялись разработкой теории, которая объединила бы квантовую физику с теорией относительности. Им хотелось создать грандиозную финальную теорию, которая включала бы в себя и описание космических свойств Вселенной из теории относительности, и объяснение субатомного мира и действующих в нем сил из квантовой теории. Так появилось бы единое математическое описание всего космоса. Ни один из двух ученых не преуспел в этом начинании, и они сильно разругались, публично критикуя труды друг друга[163]. После одного особенно колкого замечания о проблемах в рассуждениях Эйнштейна, сделанного Шрёдингером на пресс-конференции, Эйнштейн наказал бывшего друга и три мучительных (по крайней мере, для Шрёдингера) года не отвечал на его письма.
Теперь эстафету перехватили другие, но никто пока не заявил о близости к цели: математики и физики, а также все, кто работает в плодородных областях на стыке этих наук, по-прежнему исследуют различные пути. Любопытно – особенно в контексте этой главы, – что сегодня оптимизм в ученых вселяет в основном как раз математика комплексных чисел, в частности октонионов.
Все началось с теории струн. Это попытка построить все частицы и силы физики, начав с довольно простой вещи – вибрирующих струн энергии. Струны вибрируют определенным образом – и мы получаем электрон. Вибрация другого типа дает нам электромагнитную силу. Идея о том, что математика музыки переплетена с математикой космоса, весьма заманчива: пифагорейцам она бы точно понравилась.
Но такой подход работает, только если мы допускаем существование “дополнительных” пространственных измерений (отличных от тех, что предложил Луи де Бройль). Согласно теории струн, к трем измерениям, в которых мы живем, нужно добавить еще семь скрытых. В этой схеме свойства вещества взаимодействуют друг с другом такими способами, которые математически описываются с помощью октонионов. Хотя теория струн вряд ли станет итогом наших размышлений, на текущий момент она, пожалуй, представляет собой лучшую из имеющихся у нас вариаций описания “квантовой теории гравитации” и подсказывает нам, что в финальной теории, какой бы она ни оказалась, вполне может фигурировать математика октонионов.
Эти подсказки проистекают из того, как специалисты по физике частиц собирают свой “зоопарк”. Стандартная модель – это нечто вроде зоологической классификации, которая позволяет распределять частицы по классам на основании сходства их характеристик. Так, в класс адронов входят кварки, с которыми мы встречались в главе об алгебре. Адроны обладают электрическим зарядом, кратным заряду электрона (при этом множителем может быть и ноль). Вероятно, вы слышали о протонах и нейтронах, составляющих ядро атома. Это адроны. Существует и множество других классов, включая лептоны (к ним относятся электроны) и бозоны (например, бозон Хиггса).
Из-за различных классификаций, характеристик и особенностей поведения этих частиц стандартная модель оказывается довольно запутанной. Нам сложно понять, как выводятся ее законы. Но есть основания предполагать, что запутанность возникает лишь потому, что мы пока не поняли, как модель соотносится со всеми тонкостями плоскости Фано и как в ней участвует гравитация. Лауреат Абелевской премии математик Майкл Атья отметил: “Настоящая теория, которую мы хотим вывести, должна сочетать гравитацию со всеми этими теориями так, чтобы гравитация казалась следствием октонионов… Это будет сложно, ведь мы знаем, что с октонионами не бывает легко, но такая теория, когда она будет обнаружена, окажется прекрасной и уникальной”[164].
Но пока, разумеется, это лишь гипотетическая возможность для применения комплексных чисел. Но есть и другая прекрасная теория, чрезвычайно практичная и применяемая уже более века. Ее подарил нам Чарльз Протеус Штейнмец, родившийся в Германии. И именно эта история показывает нам – возможно, нагляднее любой другой, – в каком долгу наша цивилизация перед математикой.
Электрификация Америки
В этой истории мы встретимся с некоторыми из известных эксцентриков. И с раздражительным, нелюдимым Томасом Эдисоном, которого порой называют изобретателем электрической лампочки и волшебником из Менло-Парк, района Нью-Джерси, где он открыл свою первую лабораторию. И с сумасбродным гением Николой Теслой, который, как считается, был одержим созданием умопомрачительных световых композиций с роскошными электрическими инсталляциями. И с глубоко религиозным Майклом Фарадеем, который родился в семье кузнеца и создал первый в мире электромотор. И с шотландским пионером электромагнитной теории Джеймсом Клерком Максвеллом, которого школьные друзья прозвали Недоумком из-за того, что он ходил в странных самодельных туфлях. И все же наш главный герой был самым эксцентричным из всех них.
Карл Август Рудольф Штейнмец родился в прусском городе Бреслау (ныне – Вроцлав, Польша) в 1865 году. От отца
